17、下面函数中，在所给的定义区间上，满足罗尔定理条件的为____A. f(x) = |x| ， x in [-1, 1] B. f(x) = x^3 ， x in [-1, 1] C. f(x) = } x, & -1 leq x

本题考查罗尔定理的条件应用。罗尔定理的条件为：函数$y = f(x)$满足在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。下面我们对每个选项逐一分析：

• 选项A：$f(x) = |x|$，$x \in [-1, 1]$
  • 连续性：绝对值函数$f(x)=\vert x\vert=\begin{cases}-x, & x<0 \\ x, & x\geq0\end{cases}$在$[-1,1]$上是连续的。
  • 可导性：根据导数的定义求$x = 0$处的左右导数。
    • 左导数$f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{-x - 0}{x}=-1$。
    • 右导数$f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x - 0}{x}=1$。
      因为$f_{-}'(0)\neq f_{+}'(0)$，所以函数$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0\in(-1,1)$处不可导，不满足罗尔定理中在开区间$(-1,1)$内可导这一条件。
• 选项B：$f(x) = x^3$，$x \in [-1, 1]$
  • 连续性：幂函数$f(x)=x^3$在$R$上连续，所以在$[-1,1]$上连续。
  • 可导性：对$f(x)=x^3$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$f^\prime(x)=3x^2$，在$(-1,1)$内$f^\prime(x)$存在，即函数在$(-1,1)$内可导。
  • 端点值：$f(-1)=(-1)^3=-1$，$f(1)=1^3 = 1$，$f(-1)\neq f(1)$，不满足罗尔定理中$f(a)=f(b)$这一条件。
• 选项C：$f(x) = \begin{cases} x, & -1 \leq x < 0, \\ \cos x, & 0 \leq x \leq \pi \end{cases}$
  • 连续性：在$x = 0$处，$\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{-}}x = 0$，$\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\cos x = 1$，$\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)\neq\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)$，所以函数$f(x)$在$x = 0\in[-1,\pi]$处不连续，不满足罗尔定理中在闭区间$[-1,\pi]$上连续这一条件。
• 选项D：$f(x) = \begin{cases} x, & -1 \leq x < 0, \\ \sin x, & 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \end{cases}$
  • 连续性：在$x = 0$处，$\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{-}}x = 0$，$\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\sin x = 0$，且$f(0)=\sin0 = 0$，所以$\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to0^{+}}f(x)=f(0)$，函数$f(x)$在$x = 0\in[-1,\frac{3\pi}{2}]$处连续，又因为$y = x$在$[-1,0)$上连续，$y = \sin x$在$[0,\frac{3\pi}{2}]$上连续，所以函数$f(x)$在$[-1,\frac{3\pi}{2}]$上连续。
  • 可导性：
    • 当$-1\leq x<0$时，$f^\prime(x)=(x)^\prime = 1$。
    • 当$0<x\leq\frac{3\pi}{2}$时，$f^\prime(x)=(\sin x)^\prime=\cos x$。
      在$x = 0$处，左导数$f_{-}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x\to0^{-}}\frac{x - 0}{x}=1$，右导数$f_{+}'(0)=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\sin x - 0}{x}=1$（根据重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$），$f_{-}'(0)=f_{+}'(0)=1$，所以函数$f(x)$在$x = 0\in(-1,\frac{3\pi}{2})$处可导，即函数在$(-1,\frac{3\pi}{2})$内可导。
  • 端点值：$f(-1)=-1$，$f(\frac{3\pi}{2})=\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，$f(-1)=f(\frac{3\pi}{2})$，满足罗尔定理的所有条件。