题目

求(x+1)y'-2y=((x+1))^4满足(x+1)y'-2y=((x+1))^4的特解。

求 $(x+1)y'-2y=(x+1)^4$ 满足 $y\mid_{x=0}=0$ 的特解。

题目解答

答案

解：

首先将方程 $(x+1)y'-2y=(x+1)^4$ 化为标准形式：

$y'-\frac{2}{x+1}y=(x+1)^3$

这是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为：

$y=e^{\int_{ }^{ }\frac{2}{x+1}dx}\left[\int_{ }^{ }(x+1)^3e^{-\int_{ }^{ }\frac{2}{x+1}dx}dx+C\right]$

$\int_{ }^{ }\frac{2}{x+1}dx=2\ln|x+1|$

$e^{\int_{ }^{ }\frac{2}{x+1}dx}=e^{2\ln|x+1|}=(x+1)^2$

$e^{-\int_{ }^{ }\frac{2}{x+1}dx}=\frac{1}{(x+1)^2}$

$\begin{aligned} y&=(x + 1)^2\left[\int (x + 1)^3 \frac{1}{(x + 1)^2}dx + C\right]\\ &=(x + 1)^2\left[\int (x + 1)dx + C\right]\\ &=(x + 1)^2\left[\frac{1}{2}x^2 + x + C\right] \end{aligned}$

因为 $y\mid_{x=0}=0$ ，所以：

$0=(0+1)^2\left[\frac{1}{2}\times0^2+0+C\right]$

$0=C$

所以特解为 $y=(x+1)^2\left[\frac{1}{2}x^2+x\right]$ 。

解析

步骤 1：将方程化为标准形式
原方程为$(x+1)y'-2y={(x+1)}^{4}$，将其化为标准形式$y'-\dfrac {2}{x+1}y={(x+1)}^{3}$。
步骤 2：求解一阶线性非齐次微分方程的通解
这是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为$y={e}^{\int \dfrac {2}{x+1}dx}[\int {(x+1)}^{3}{e}^{-\int \dfrac {2}{x+1}dx}dx+c]$。
步骤 3：计算积分
$\int \dfrac {2}{x+1}dx=2\ln |x+1|$，所以${e}^{\int \dfrac {2}{x+1}dx}={(x+1)}^{2}$，${e}^{-\int \dfrac {2}{x+1}dx}=\dfrac {1}{{(x+1)}^{2}}$。
步骤 4：代入积分结果
将积分结果代入通解公式，得到$y={(x+1)}^{2}[\int {(x+1)}^{3}\dfrac {1}{{(x+1)}^{2}}dx+c]$。
步骤 5：计算特解
因为y|x=0=0，所以$0={(0+1)}^{2}[\int {(0+1)}^{3}\dfrac {1}{{(0+1)}^{2}}dx+c]$，解得c=0。