题目
设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率．
设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，
（1）求抽取的产品是次品的概率；
（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率．
（1）求抽取的产品是次品的概率；
（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率．
题目解答
答案
解：（1）设B=“任取一个零件为次品”，A1=“零件为甲工厂生产“，A2=“零件为乙工厂生产“，A3=“零件为丙工厂生产“，
Ω=A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．
P（A1）=0.2，P（A2）=0.3，P（A3）=0.5，P（B|A1）=0.05，P（B|A2）=0.04，P（B|A3）=0.02，
∴P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=0.2×0.05+0.3×0.04+0.5×0.02=0.032．
（2）P（A1|B）=$\frac{P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}$=$\frac{0.2×0.05}{0.032}$=$\frac{5}{16}$，
同理可得：P（A2|B）=$\frac{3}{8}$，P（A3|B）=$\frac{5}{16}$．
Ω=A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．
P（A1）=0.2，P（A2）=0.3，P（A3）=0.5，P（B|A1）=0.05，P（B|A2）=0.04，P（B|A3）=0.02，
∴P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=0.2×0.05+0.3×0.04+0.5×0.02=0.032．
（2）P（A1|B）=$\frac{P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}$=$\frac{0.2×0.05}{0.032}$=$\frac{5}{16}$，
同理可得：P（A2|B）=$\frac{3}{8}$，P（A3|B）=$\frac{5}{16}$．
解析
步骤 1：定义事件
设B=“任取一个零件为次品”，A_1=“零件为甲工厂生产“，A_2=“零件为乙工厂生产“，A_3=“零件为丙工厂生产“，则Ω=A_1∪A_2∪A_3，A_1，A_2，A_3两两互斥。
步骤 2：计算各事件的概率
P（A_1）=0.2，P（A_2）=0.3，P（A_3）=0.5，P（B|A_1）=0.05，P（B|A_2）=0.04，P（B|A_3）=0.02。
步骤 3：计算抽取的产品是次品的概率
根据全概率公式，P（B）=P（A_1）P（B|A_1）+P（A_2）P（B|A_2）+P（A_3）P（B|A_3）=0.2×0.05+0.3×0.04+0.5×0.02=0.032。
步骤 4：计算已知得到的是次品，它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率
根据贝叶斯公式，P（A_1|B）=$\frac{P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}$=$\frac{0.2×0.05}{0.032}$=$\frac{5}{16}$，同理可得：P（A_2|B）=$\frac{3}{8}$，P（A_3|B）=$\frac{5}{16}$。
设B=“任取一个零件为次品”，A_1=“零件为甲工厂生产“，A_2=“零件为乙工厂生产“，A_3=“零件为丙工厂生产“，则Ω=A_1∪A_2∪A_3，A_1，A_2，A_3两两互斥。
步骤 2：计算各事件的概率
P（A_1）=0.2，P（A_2）=0.3，P（A_3）=0.5，P（B|A_1）=0.05，P（B|A_2）=0.04，P（B|A_3）=0.02。
步骤 3：计算抽取的产品是次品的概率
根据全概率公式，P（B）=P（A_1）P（B|A_1）+P（A_2）P（B|A_2）+P（A_3）P（B|A_3）=0.2×0.05+0.3×0.04+0.5×0.02=0.032。
步骤 4：计算已知得到的是次品，它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率
根据贝叶斯公式，P（A_1|B）=$\frac{P({A}_{1})P(B|{A}_{1})}{P(B)}$=$\frac{0.2×0.05}{0.032}$=$\frac{5}{16}$，同理可得：P（A_2|B）=$\frac{3}{8}$，P（A_3|B）=$\frac{5}{16}$。