题目
二阶齐次线性微分方程的两个解x1(t ),x2(t)成为其基本解组的充要条件是 __
题目解答
答案
解析
二阶齐次线性微分方程的两个解 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 成为其基本解组的充要条件是它们的朗斯基行列式 \(W(x_1, x_2)(t)\) 在整个定义域内不等于零。朗斯基行列式定义为：
\[ W(x_1, x_2)(t) = \begin{vmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{vmatrix} = x_1(t)x_2'(t) - x_2(t)x_1'(t) \]
如果朗斯基行列式在某个区间内不为零，则 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 在该区间内线性无关，从而构成基本解组。反之，如果朗斯基行列式在某个区间内为零，则 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 在该区间内线性相关，不能构成基本解组。
\[ W(x_1, x_2)(t) = \begin{vmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{vmatrix} = x_1(t)x_2'(t) - x_2(t)x_1'(t) \]
如果朗斯基行列式在某个区间内不为零，则 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 在该区间内线性无关，从而构成基本解组。反之，如果朗斯基行列式在某个区间内为零，则 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 在该区间内线性相关，不能构成基本解组。