[题目]-|||-设A= 3 4 0 0 4 -3 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 求|A^8|及A^4.

步骤 1：计算矩阵A的行列式
矩阵A可以分为两个2x2的子矩阵，分别计算这两个子矩阵的行列式。
子矩阵1：$\left (\begin{matrix} 3& 4\\ 4& -3\end{matrix} ) \right.$
子矩阵2：$\left (\begin{matrix} 2& 0\\ 2& 2\end{matrix} ) \right.$
步骤 2：计算子矩阵1的行列式
$|A_1| = 3*(-3) - 4*4 = -9 - 16 = -25$
步骤 3：计算子矩阵2的行列式
$|A_2| = 2*2 - 0*2 = 4$
步骤 4：计算矩阵A的行列式
$|A| = |A_1| * |A_2| = -25 * 4 = -100$
步骤 5：计算|A^8|
$|A^8| = |A|^8 = (-100)^8 = 10^{16}$
步骤 6：计算A^4
由于A是一个分块对角矩阵，我们可以分别计算两个子矩阵的四次方，然后将结果组合起来。
步骤 7：计算子矩阵1的四次方
$A_1^4 = \left (\begin{matrix} 3& 4\\ 4& -3\end{matrix} ) \right.^4$
步骤 8：计算子矩阵2的四次方
$A_2^4 = \left (\begin{matrix} 2& 0\\ 2& 2\end{matrix} ) \right.^4$
步骤 9：组合结果
$A^4 = \left (\begin{matrix} A_1^4& 0\\ 0& A_2^4\end{matrix} ) \right.$
步骤 10：计算A_1^4
$A_1^2 = \left (\begin{matrix} 3& 4\\ 4& -3\end{matrix} ) \right.^2 = \left (\begin{matrix} 9+16& 12-12\\ 12-12& 16+9\end{matrix} ) \right. = \left (\begin{matrix} 25& 0\\ 0& 25\end{matrix} ) \right.$
$A_1^4 = A_1^2 * A_1^2 = \left (\begin{matrix} 25& 0\\ 0& 25\end{matrix} ) \right.^2 = \left (\begin{matrix} 625& 0\\ 0& 625\end{matrix} ) \right.$
步骤 11：计算A_2^4
$A_2^2 = \left (\begin{matrix} 2& 0\\ 2& 2\end{matrix} ) \right.^2 = \left (\begin{matrix} 4& 0\\ 4& 4\end{matrix} ) \right.$
$A_2^4 = A_2^2 * A_2^2 = \left (\begin{matrix} 4& 0\\ 4& 4\end{matrix} ) \right.^2 = \left (\begin{matrix} 16& 0\\ 16& 16\end{matrix} ) \right.$
步骤 12：组合结果
$A^4 = \left (\begin{matrix} 625& 0& 0& 0\\ 0& 625& 0& 0\\ 0& 0& 16& 0\\ 0& 0& 16& 16\end{matrix} ) \right.$