下列函数中哪一个不是周期函数？（ ）A. y=cos(x-2).B. y=cos 4x.C. y=1+sin pi x.D. y=xcos x.

我们来逐项分析这些选项，判断哪一个函数不是周期函数。

定义回顾：

一个函数 $ f(x) $ 是周期函数，如果存在一个正数 $ T $，使得对所有 $ x $ 都有：

$f(x + T) = f(x)$

最小的这样的 $ T $ 称为最小正周期。

选项 A: $ y = \cos(x - 2) $

这是一个平移后的余弦函数。我们知道：

$\cos(x - 2) = \cos x \cdot \cos 2 + \sin x \cdot \sin 2$

它仍然是一个余弦函数，只是向右平移了 2 个单位。平移不会改变周期性，所以它仍然是周期函数。

• 周期： 与 $ \cos x $ 相同，即 $ 2\pi $

✅ 是周期函数。

选项 B: $ y = \cos 4x $

这是频率为 4 的余弦函数。

我们知道 $ \cos kx $ 的周期是：

$T = \frac{2\pi}{k}$

所以：

$T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

✅ 是周期函数。

选项 C: $ y = 1 + \sin \pi x $

这个函数由常数项 1 和一个正弦函数组成。

• $ \sin \pi x $ 的周期是：

$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$

加上常数不会改变周期性。

✅ 是周期函数。

选项 D: $ y = x \cos x $

这个函数是多项式乘以余弦函数。

我们来分析它是否是周期函数。

假设它是周期函数，周期为 $ T > 0 $，那么应满足：

$x \cos x = (x + T) \cos(x + T)$

但注意：

• $ x \cos x $ 中，前面的 $ x $ 是一个非周期函数（线性函数），而 $ \cos x $ 是周期函数。
• 两者的乘积 不是周期函数，因为 $ x $ 会不断增长，而 $ \cos x $ 是有界的，但乘积的幅度会随着 $ x $ 增大而变大，无法重复。

举例说明：

• $ x = 0 $: $ y = 0 \cdot \cos 0 = 0 $
• $ x = 2\pi $: $ y = 2\pi \cdot \cos(2\pi) = 2\pi \cdot 1 = 2\pi $
• $ x = 4\pi $: $ y = 4\pi \cdot \cos(4\pi) = 4\pi \cdot 1 = 4\pi $

可以看到，函数值随着 $ x $ 增大而不断变大，没有重复，不是周期函数。

❌ 不是周期函数

✅ 最终答案：

$\boxed{D}$

选项 D 中的函数 $ y = x \cos x $ 不是周期函数。