17. (12.0分) 求表面积为 9a^2的长方体的最大体积。

考查要点：本题主要考查在约束条件下求函数最大值的方法，涉及多元函数的极值和拉格朗日乘数法的应用，同时需要理解长方体表面积与体积的关系。

解题核心思路：

1. 建立约束条件：根据表面积公式 $2(xy + yz + zx) = 9a^2$，将体积 $V = xyz$ 作为目标函数。
2. 对称性猜想：通过直观分析，猜测当长方体为正方体（即 $x = y = z$）时体积最大，但需严格证明。
3. 拉格朗日乘数法：通过求偏导联立方程，推导出变量对称关系，最终确定最大值。

破题关键点：

• 约束条件与目标函数的转化：将表面积固定条件转化为数学表达式，与体积函数结合。
• 对称性推导：通过拉格朗日乘数法的偏导方程，证明长宽高相等是极值必要条件。

步骤1：设定变量与约束条件

设长方体的长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$，根据题意，表面积为：
$2(xy + yz + zx) = 9a^2$
目标函数为体积：
$V = xyz$

步骤2：应用拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数：
$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = xyz + \lambda \left( 9a^2 - 2(xy + yz + zx) \right)$
对 $x$、$y$、$z$ 分别求偏导并令其为零：
$\begin{cases}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = yz - 2\lambda(y + z) = 0 \\\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = xz - 2\lambda(x + z) = 0 \\\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = xy - 2\lambda(x + y) = 0\end{cases}$

步骤3：联立方程推导对称性

从偏导方程可得：
$\frac{yz}{2(y + z)} = \lambda, \quad \frac{xz}{2(x + z)} = \lambda, \quad \frac{xy}{2(x + y)} = \lambda$
比较前两式：
$\frac{yz}{y + z} = \frac{xz}{x + z} \implies y(x + z) = x(y + z) \implies y = x$
同理可证 $x = y = z$。

步骤4：代入求解体积

设 $x = y = z$，代入表面积公式：
$2(3x^2) = 9a^2 \implies x^2 = \frac{3a^2}{2} \implies x = \frac{\sqrt{6}a}{2}$
体积为：
$V = x^3 = \left( \frac{\sqrt{6}a}{2} \right)^3 = \frac{3\sqrt{6}a^3}{4}$