题目

设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义且_(x)(0,0)=3,_(x)(0,0)=3,则下列结论正确的是() (A)_(x)(0,0)=3; (B)曲面_(x)(0,0)=3在点(0,0,f(0,0))的法向量为(3,-1,1); (C)曲线_(x)(0,0)=3在点(0,0,f(0,0))的切向量为(1,0,3); (D)曲线_(x)(0,0)=3在点(0,0,f(0,0))的切向量为(3,0,1)

设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义且 $f_{x}(0,0)=3$ , $f_{y}(0,0)=-1$ ,则下列结论正确的是()

(A) $dz|_{\left (0,0\right )}=3dx-dy$ ;

(B)曲面 $z=f(x,y)$ 在点(0,0,f(0,0))的法向量为(3,-1,1);

(C)曲线 $\left \{\begin{array}{c}z=f(x,y)\\y=0\end{array}\right.$ 在点(0,0,f(0,0))的切向量为(1,0,3);

(D)曲线 $\left \{\begin{array}{c}z=f(x,y)\\y=0\end{array}\right.$ 在点(0,0,f(0,0))的切向量为(3,0,1)

题目解答

答案

本题包含了三个问题,

(1)首先注意 $z=f(x,y)$ 在点 $z=f(x,y)$ 存在偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}|_{M_{0}}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}|_{M_{0}}$ ,但这并不一定能保证函数 $z=f(x,y)$ 在点 $M_{0}$ 处可微分,因此(A)不正确,

顺便指出,如果函数z=f(x,y)在点 $M_{0}(x_{0},y_{0})$ 存在连续偏导数,则 $z=f(x,y)$ 在 $M_{0}$ 点必定可微分,且 $dz|_{_{M_{0}}}=\frac{\partial z}{\partial x}|_{M_{0}}$ $dx+\frac{\partial z}{\partial y}|_{M_{0}}dy$ ,这是通常求全微分的主要方法,

(2)由于存在偏导数并不一定能保证函数可微分,因此也不能保证曲面 $z=f(x,y)$ 在相应点 $(x_{O},y_{0},f(x_{O},y_{0}))$ 存在切平面,故可知(B)不正确.

事实上, $z=f(x,y)$ 在点 $M_{0}(x_{0},y_{0})$ 存在连续偏导数,则曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{O},y_{0},f(x_{O},y_{0}))$ 存在切平面 $\frac{\partial z}{\partial x}|_{M_{0}}\left (x-y_{0}\right )+\frac{\partial z}{\partial y}|_{M_{0}}\left (y-y_{0}\right )=z-z_{0}$ ,此时切平面的法向量为 $\left (\frac{\partial z}{\partial x}|_{M_{0}},\frac{\partial z}{\partial y}|_{M_{0}},-1\right )$ .因此,即使在问题中加入条件 $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ ,在点(0,0)处连续,由于 $\frac{\partial z}{\partial x}|_{\left (0,0\right )}=3$ , $\frac{\partial z}{\partial y}|_{\left (0,0\right )}=-1$ ,可知法向量应为(3,-1,-1)(B)仍然不正确.

(3)由一元函数微分学知识可知,函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 可导,则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_{0},f(x_{0}))$ 必定存在切线,且其斜率为 $f'(x_{0})$ .因此,切向量为 $(1,f'(x_{0}))$ .由此可知若 $z=f(x,y)$ 在点 $M_{0}(x_{0},y_{0})$ 存在偏导数(并不一定连续),则曲线 $\left \{\begin{array}{c}z=f(x,y)\\y=y_{0}\end{array}\right.$ 在点 $(x_{O},y_{0},f(x_{O},y_{0}))$ 的切向量为 $(1,0,f(x_{O},y_{0}))$ 可知(C)正确,(D)不正确.

故正确答案为(C).