计算下列极限lim _(narrow infty )dfrac (1)({n)^2}(sqrt (n)+sqrt (2n)+... +sqrt ({n)^2})

考查要点：本题主要考查利用定积分定义求解数列极限的能力，需要将求和式转化为积分形式。

解题核心思路：
将求和式中的每一项$\sqrt{kn}$变形为$n \cdot \sqrt{\dfrac{k}{n}}$，从而将原式转化为$\dfrac{1}{n} \sum \sqrt{\dfrac{k}{n}}$，进而应用定积分的定义求解。

破题关键点：

1. 提取公因子：将$\sqrt{kn}$拆分为$n \cdot \sqrt{\dfrac{k}{n}}$，使表达式符合积分定义的结构。
2. 识别积分元素：$\dfrac{1}{n}$对应积分中的小区间宽度$\Delta x$，$\sqrt{\dfrac{k}{n}}$对应函数值$f(x)$。

将原式变形为积分形式：

$\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}(\sqrt {n}+\sqrt {2n}+\cdots +\sqrt {{n}^{2}}) &= \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{kn} \\&= \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \left( n \cdot \sqrt{\dfrac{k}{n}} \right) \quad \text{（提取公因子$n$）} \\&= \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\dfrac{k}{n}} \quad \text{（化简后）} \\&= \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx \quad \text{（应用定积分定义）} \\&= \dfrac{2}{3} x^{\dfrac{3}{2}} \Big|_{0}^{1} = \dfrac{2}{3}.\end{aligned}$