题目
与向量overrightarrow(a)=（1，0，-1），overrightarrow(c)=（0，1，0）都垂直的单位向量为（ ）A. ±（(1)/(2)，(sqrt(2))/(2)，(1)/(2)）B. ±（(1)/(2)，(1)/(2)，-(sqrt(2))/(2)）C. ±（(1)/(sqrt(2))，0，(1)/(sqrt(2))）D. ±（1，0，0）
与向量$\overrightarrow{a}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{c}$=（0，1，0）都垂直的单位向量为（ ）
A. ±（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
B. ±（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
C. ±（$\frac{1}{\sqrt{2}}$，0，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）
D. ±（1，0，0）
题目解答
答案
C. ±（$\frac{1}{\sqrt{2}}$，0，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）
解析
步骤 1：设与向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$都垂直的向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）。
向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$的坐标分别为（1，0，-1）和（0，1，0），要使$\overrightarrow{n}$与这两个向量都垂直，需要满足$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{a}$的点积为0，以及$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{c}$的点积为0。
步骤 2：根据点积为0的条件，列出方程组。
$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{a}$的点积为0，即$x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot (-1) = 0$，简化得到$x - z = 0$。
$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{c}$的点积为0，即$x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = 0$，简化得到$y = 0$。
步骤 3：求解方程组，得到$\overrightarrow{n}$的坐标。
由$x - z = 0$，得到$x = z$。由$y = 0$，得到$y = 0$。因此，$\overrightarrow{n}$的坐标可以表示为（x，0，x）。
步骤 4：求$\overrightarrow{n}$的单位向量。
$\overrightarrow{n}$的模长为$\sqrt{x^2 + 0^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}|x|$。因此，$\overrightarrow{n}$的单位向量为$\frac{1}{\sqrt{2}|x|}(x, 0, x)$。由于单位向量的模长为1，所以$\frac{1}{\sqrt{2}|x|}x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此$\overrightarrow{n}$的单位向量为$\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$。
向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$的坐标分别为（1，0，-1）和（0，1，0），要使$\overrightarrow{n}$与这两个向量都垂直，需要满足$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{a}$的点积为0，以及$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{c}$的点积为0。
步骤 2：根据点积为0的条件，列出方程组。
$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{a}$的点积为0，即$x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot (-1) = 0$，简化得到$x - z = 0$。
$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{c}$的点积为0，即$x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0 = 0$，简化得到$y = 0$。
步骤 3：求解方程组，得到$\overrightarrow{n}$的坐标。
由$x - z = 0$，得到$x = z$。由$y = 0$，得到$y = 0$。因此，$\overrightarrow{n}$的坐标可以表示为（x，0，x）。
步骤 4：求$\overrightarrow{n}$的单位向量。
$\overrightarrow{n}$的模长为$\sqrt{x^2 + 0^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}|x|$。因此，$\overrightarrow{n}$的单位向量为$\frac{1}{\sqrt{2}|x|}(x, 0, x)$。由于单位向量的模长为1，所以$\frac{1}{\sqrt{2}|x|}x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此$\overrightarrow{n}$的单位向量为$\pm(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$。