题目
计算 int int xy , dsigma，其中 D 是由抛物线 y^2 = x 及直线 y = x - 2 所围成的闭区域() A. int_(2)^-1 [ int_(y^2)^y+2 xy , dx ] dyB. int_(-1)^2 [ int_(y)^y+2 xy , dx ] dyC. int_(-1)^2 [ int_(y^2)^y+2 xy , dx ] dyD. int_(-1)^2 [ int_(y^2)^y+2 xy , dx ] dy
计算 $\int \int xy \, d\sigma$，其中 $D$ 是由抛物线 $y^2 = x$ 及直线 $y = x - 2$ 所围成的闭区域()
- A. $\int_{2}^{-1} \left[ \int_{y^2}^{y+2} xy \, dx \right] dy$
- B. $\int_{-1}^{2} \left[ \int_{y}^{y+2} xy \, dx \right] dy$
- C. $\int_{-1}^{2} \left[ \int_{y^2}^{y+2} xy \, dx \right] dy$
- D. $\int_{-1}^{2} \left[ \int_{y^2}^{y+2} xy \, dx \right] dy$
题目解答
答案
首先，求交点：
将 $x = y + 2$ 代入 $y^2 = x$，得 $y^2 - y - 2 = 0$，解得 $y = 2$ 或 $y = -1$。
对应交点为 $(4, 2)$ 和 $(1, -1)$。
描述区域 $D$：
对于 $-1 \leq y \leq 2$，$x$ 的范围从 $y^2$ 到 $y + 2$。
二重积分表达式：
先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分，得
\[
\int_{-1}^{2} \left[ \int_{y^2}^{y+2} xy \, dx \right] dy
\]
答案：
\[
\boxed{C}
\]
解析
步骤 1：求交点
将直线 $y = x - 2$ 代入抛物线 $y^2 = x$，得到 $y^2 = y + 2$，即 $y^2 - y - 2 = 0$。解这个二次方程，得到 $y = 2$ 或 $y = -1$。对应的交点为 $(4, 2)$ 和 $(1, -1)$。
步骤 2：描述区域 $D$
对于 $-1 \leq y \leq 2$，$x$ 的范围从 $y^2$ 到 $y + 2$。
步骤 3：二重积分表达式
根据步骤 2，二重积分的表达式为先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分，即 \[ \int_{-1}^{2} \left[ \int_{y^2}^{y+2} xy \, dx \right] dy \]
将直线 $y = x - 2$ 代入抛物线 $y^2 = x$，得到 $y^2 = y + 2$，即 $y^2 - y - 2 = 0$。解这个二次方程，得到 $y = 2$ 或 $y = -1$。对应的交点为 $(4, 2)$ 和 $(1, -1)$。
步骤 2：描述区域 $D$
对于 $-1 \leq y \leq 2$，$x$ 的范围从 $y^2$ 到 $y + 2$。
步骤 3：二重积分表达式
根据步骤 2，二重积分的表达式为先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分，即 \[ \int_{-1}^{2} \left[ \int_{y^2}^{y+2} xy \, dx \right] dy \]