题目
已知approx N(0,1)，Y=|X|,令F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，求F(1,4).
已知
，Y=|X|,令F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，求F(1,4).
题目解答
答案
首先，我们知道当X服从标准正态分布时，其概率密度函数为：
由此可以得到随机变量Y的概率密度函数：
0" data-width="598" data-height="65" data-size="7862" data-format="png" style="max-width:100%">
接着，我们来计算联合分布函数F(x,y)：
将上面的概率密度函数代入，得到：
化简后继续计算：
接着，利用极坐标变换：
雅可比行列式为r，且r的取值范围为
，
的取值范围为
。
将积分变换为极坐标下的积分：
继续计算：
最终得到联合分布函数：
F(x,y) = 0
所以，F(1,4) = 0。
解析
考查要点：本题主要考查二维随机变量的联合分布函数计算，以及如何处理随机变量间的函数关系。关键在于理解Y是X的绝对值这一确定性关系，从而将联合事件转化为对X的限制条件。
解题核心思路：
- 明确联合分布函数定义：$F(x,y)=P(X \leq x, Y \leq y)$。
- 利用Y与X的关系：$Y=|X|$，将事件$\{Y \leq y\}$转化为$\{|X| \leq y\}$，即$X \in [-y, y]$。
- 结合X的限制：最终事件为$X \leq x$且$X \in [-y, y]$，需分情况讨论$x$与$y$的大小关系。
破题关键点：
- 当$x \leq y$时，$X$的范围是$[-y, x]$；当$x > y$时，$X$的范围是$[-y, y]$。
- 本题中$x=1$，$y=4$，满足$x < y$，因此只需计算$X \in [-4, 1]$的概率。
步骤1：分析事件关系
由$Y=|X|$，事件$\{Y \leq 4\}$等价于$\{|X| \leq 4\}$，即$X \in [-4, 4]$。
联合事件$\{X \leq 1, Y \leq 4\}$等价于$X \in [-4, 1]$。
步骤2：计算概率
$F(1,4) = P(-4 \leq X \leq 1)$，利用标准正态分布的累积分布函数$\Phi(x)$：
$F(1,4) = \Phi(1) - \Phi(-4)$
步骤3：数值计算
- $\Phi(1) \approx 0.8413$（标准正态分布在1处的累积概率）。
- $\Phi(-4) \approx 0$（当$x$趋近于负无穷时，$\Phi(x) \to 0$，此处$-4$已非常接近0）。
因此，$F(1,4) \approx 0.8413 - 0 = 0.8413$。