题目
下列说法错误的是( )A. 解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. B. 级数sum _(n=1)^infty dfrac ({(4+5i))^n}({8)^n}收敛. C. 若sum _(n=1)^infty dfrac ({(4+5i))^n}({8)^n}在sum _(n=1)^infty dfrac ({(4+5i))^n}({8)^n}内解析,则sum _(n=1)^infty dfrac ({(4+5i))^n}({8)^n}一定可以在sum _(n=1)^infty dfrac ({(4+5i))^n}({8)^n}内展开成洛朗级数. D. sum _(n=1)^infty dfrac ({(4+5i))^n}({8)^n}.
下列说法错误的是( )
A. 解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数.B. 级数
收敛.C. 若
在
内解析,则一定可以在内展开成洛朗级数.D.
.题目解答
答案
D. $1+i\lt 2+3i$.
解析
步骤 1：解析函数的虚部与实部的关系
解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，因此虚部是其实部的共轭调和函数。选项A正确。
步骤 2：级数的收敛性
级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(4+5i)}^{n}}{{8}^{n}}$可以写成$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\dfrac {4+5i}{8}\right)^{n}$。由于$\left|\dfrac {4+5i}{8}\right|=\dfrac {\sqrt {41}}{8}\lt 1$，所以级数收敛。选项B正确。
步骤 3：洛朗级数的展开
若函数f在$8\gt |2|-2|\gt 0$内解析，则f一定可以在$8\gt |2|-2|\gt 0$内展开成洛朗级数。选项C正确。
步骤 4：复数的比较
复数不能直接比较大小，因为复数的大小没有定义。选项D错误。
解析函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，因此虚部是其实部的共轭调和函数。选项A正确。
步骤 2：级数的收敛性
级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(4+5i)}^{n}}{{8}^{n}}$可以写成$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\dfrac {4+5i}{8}\right)^{n}$。由于$\left|\dfrac {4+5i}{8}\right|=\dfrac {\sqrt {41}}{8}\lt 1$，所以级数收敛。选项B正确。
步骤 3：洛朗级数的展开
若函数f在$8\gt |2|-2|\gt 0$内解析，则f一定可以在$8\gt |2|-2|\gt 0$内展开成洛朗级数。选项C正确。
步骤 4：复数的比较
复数不能直接比较大小，因为复数的大小没有定义。选项D错误。