题目
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆。(2)求AB−1.
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆。(2)求AB−1.
题目解答
答案
证明：(1)令：Eij表示单位阵中的第i行和第j行对换，则由题意B=EijA,而Eij是初等矩阵，是可逆的，又A是可逆的，根据逆矩阵的乘积依然是可逆的，得：B=AEij可逆。(2)∵B=EijA，∴B−1=(EijA)−1=A−1⋅E−1ij=A−1Eij,(Eij的逆矩阵依然为本身)从而：AB−1=A⋅A−1Eij=Eij.
解析
步骤 1：证明B可逆
根据题意，B是通过将A的第i行和第j行对换得到的矩阵。我们可以通过引入一个初等矩阵Eij来表示这个操作，其中Eij是单位矩阵的第i行和第j行对换得到的矩阵。因此，B可以表示为B = EijA。由于Eij是初等矩阵，它是可逆的，且其逆矩阵为Eij本身。又因为A是可逆的，根据矩阵乘法的性质，可逆矩阵的乘积依然是可逆的，所以B = EijA是可逆的。
步骤 2：求AB−1
根据步骤1中的结论，B = EijA，所以B的逆矩阵B−1可以表示为B−1 = (EijA)−1 = A−1Eij−1。由于Eij的逆矩阵是Eij本身，所以B−1 = A−1Eij。因此，AB−1 = A(A−1Eij) = (AA−1)Eij = Eij。
根据题意，B是通过将A的第i行和第j行对换得到的矩阵。我们可以通过引入一个初等矩阵Eij来表示这个操作，其中Eij是单位矩阵的第i行和第j行对换得到的矩阵。因此，B可以表示为B = EijA。由于Eij是初等矩阵，它是可逆的，且其逆矩阵为Eij本身。又因为A是可逆的，根据矩阵乘法的性质，可逆矩阵的乘积依然是可逆的，所以B = EijA是可逆的。
步骤 2：求AB−1
根据步骤1中的结论，B = EijA，所以B的逆矩阵B−1可以表示为B−1 = (EijA)−1 = A−1Eij−1。由于Eij的逆矩阵是Eij本身，所以B−1 = A−1Eij。因此，AB−1 = A(A−1Eij) = (AA−1)Eij = Eij。