1、设函数 f(x)= ) x|x|,xleqslant 0 xln x,xgt 0 . 则 x=0 是f(x)的A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导点，非极值点D.不可导点，非极值点

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的可导性及极值点的判断，涉及导数定义、左右导数计算以及极值存在的条件。

解题核心思路：

1. 判断连续性：先验证函数在$x=0$处连续，为后续求导奠定基础。
2. 计算左右导数：分别求$x=0$处的左导数和右导数，若不相等则不可导。
3. 分析极值点：结合导数符号变化及函数值比较，判断$x=0$是否为极值点。

破题关键点：

• 左导数计算：当$x \leqslant 0$时，$f(x) = -x^2$，导数为$f'_-(0) = 0$。
• 右导数不存在：当$x > 0$时，$f'(x) = \ln x + 1$，当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，故右导数不存在。
• 极值判定：通过函数在$x=0$附近的变化趋势，发现$f(0)=0$是局部最大值，故为极大值点。

1. 判断连续性

当$x \to 0^-$时，$f(x) = x|x| = -x^2 \to 0$；
当$x \to 0^+$时，$f(x) = x\ln x \to 0$（因$x \to 0$主导，$\ln x$虽趋向$-\infty$，但乘积趋向$0$）。
因此，$f(x)$在$x=0$处连续。

2. 计算左右导数

• 左导数：
  当$x \leqslant 0$时，$f(x) = -x^2$，导数为$f'_-(x) = -2x$。
  代入$x=0$，得左导数$f'_-(0) = 0$。

• 右导数：
  当$x > 0$时，$f(x) = x\ln x$，导数为$f'_+(x) = \ln x + 1$。
  当$x \to 0^+$时，$\ln x \to -\infty$，故$\lim_{x \to 0^+} f'_+(x) = -\infty$，右导数不存在。

结论：左右导数不相等且右导数不存在，故$f(x)$在$x=0$处不可导。

3. 分析极值点

• 左侧导数符号：当$x < 0$时，$f'_-(x) = -2x > 0$（因$x$为负数），说明函数在$x=0$左侧单调递增。
• 右侧导数符号：当$x > 0$且接近$0$时，$f'_+(x) = \ln x + 1 < 0$（因$\ln x \to -\infty$），说明函数在$x=0$右侧附近单调递减。
• 函数值比较：$f(0) = 0$，而当$x$接近$0$时，$f(x)$在两侧均小于$0$，故$x=0$为极大值点。