题目
27、下列函数中，偶函数是（ ）.A.=(x)^2sin x+1B.=(x)^2sin x+1C.=(x)^2sin x+1D.=(x)^2sin x+1
27、下列函数中，偶函数是（ ）.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
解：
（1）A选项，∵
，
∴
∴
，故不是偶函数，A选项错误；
（2）B选项，∵
，
∴
∴，故不是偶函数，B选项错误；
(3)C选项，∵，令
，则
∴
，∴为偶函数，故C选项正确。
（4）D选项，∵，令
，则
∴
,∴不是偶函数，故D选项错误。
∴答案为C.
解析
步骤 1：分析选项A
A选项，$y=f(x)={x}^{2}\sin x+1$，计算$f(-x)$，得到$f(-x)={(-x)}^{2}\cdot \sin (-x)+1=-{x}^{2}\sin x+1$，因此$f(x)\neq f(-x)$，故$y={x}^{2}\sin x+1$不是偶函数。
步骤 2：分析选项B
B选项，$y=f(x)=\cos x-\cos x$，计算$f(-x)$，得到$f(-x)=\cos (-x)-\cos (-x)=\cos x-\cos x$，因此$f(x)=f(-x)$，但这个函数恒等于0，所以它既是偶函数也是奇函数。
步骤 3：分析选项C
C选项，$y=f(x)+f(-x)$，令$g(x)=y=f(x)+f(-x)$，则$g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)$，因此$g(x)=g(-x)$，所以$y=f(x)+f(-x)$为偶函数。
步骤 4：分析选项D
D选项，$y=f(x)-f(-x)$，令$g(x)=y=f(x)-f(-x)$，则$g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]$，因此$g(x)\neq g(-x)$，所以$y=f(x)-f(-x)$不是偶函数。
A选项，$y=f(x)={x}^{2}\sin x+1$，计算$f(-x)$，得到$f(-x)={(-x)}^{2}\cdot \sin (-x)+1=-{x}^{2}\sin x+1$，因此$f(x)\neq f(-x)$，故$y={x}^{2}\sin x+1$不是偶函数。
步骤 2：分析选项B
B选项，$y=f(x)=\cos x-\cos x$，计算$f(-x)$，得到$f(-x)=\cos (-x)-\cos (-x)=\cos x-\cos x$，因此$f(x)=f(-x)$，但这个函数恒等于0，所以它既是偶函数也是奇函数。
步骤 3：分析选项C
C选项，$y=f(x)+f(-x)$，令$g(x)=y=f(x)+f(-x)$，则$g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)$，因此$g(x)=g(-x)$，所以$y=f(x)+f(-x)$为偶函数。
步骤 4：分析选项D
D选项，$y=f(x)-f(-x)$，令$g(x)=y=f(x)-f(-x)$，则$g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]$，因此$g(x)\neq g(-x)$，所以$y=f(x)-f(-x)$不是偶函数。