题目

若α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且4阶行列式|α1，α2，α3，β1|=m，|α1，α2，β2，α3|=n，则4阶行列式|α3，α2，α1，（β1+β2）|等于（ ）A. m+nB. -（m+n）C. n-mD. m-n

若α 1，α 2，α 3，β 1，β 2都是四维列向量，且4阶行列式|α 1，α 2，α 3，β 1|=m，|α 1，α 2，β 2，α 3|=n， 则4阶行列式|α 3，α 2，α 1，（β 1+β 2）|等于（ ）

A. m+n

B. -（m+n）

C. n-m

D. m-n

题目解答

答案

C. n-m

解析

本题考查行列式的性质，特别是列交换对行列式符号的影响以及行列式对列的线性性。解题关键在于：

  1. 调整列的顺序，将目标行列式转换为与已知行列式类似的结构；
  2. 拆分列的和，利用行列式的线性性质分解为已知行列式的组合；
  3. 处理列交换带来的符号变化，结合已知条件推导最终结果。

步骤1：调整列顺序

目标行列式为 $|\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1, \beta_1+\beta_2|$。通过交换第一列和第三列，行列式符号改变一次，得到：
$|\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1, \beta_1+\beta_2| = -|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+\beta_2|$

步骤2：拆分列的和

根据行列式对列的线性性，拆分第四列为 $\beta_1$ 和 $\beta_2$：
$-|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+\beta_2| = -\left( |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1| + |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_2| \right)$

步骤3：关联已知条件

  1. 已知 $|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1| = m$；
  2. 已知 $|\alpha_1, \alpha_2, \beta_2, \alpha_3| = n$。交换第三列和第四列，符号改变，得：
    $|\alpha_1, \alpha_2, \beta_2, \alpha_3| = -|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_2| \implies |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_2| = -n$

步骤4：代入计算

将上述结果代入：
$-|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+\beta_2| = -(m + (-n)) = n - m$