求电荷量线密度为 lambda 的无限长导线周围场强分布。

本题考查利用高斯定律求解无限长带电导线周围的场强分布。解题的关键思路是利用无限长带电导线的对称性，选取合适的高斯面，然后根据高斯定律来计算场强。

1. 分析对称性并选取高斯面：
   • 由于无限长导线具有轴对称性，其周围的电场分布也具有轴对称性，即与导线距离相等处的场强大小相等，方向沿径向。
   • 基于这种对称性，我们选取一个与导线同轴的圆柱面作为高斯面，设圆柱面的半径为 $r$，高度为 $L$。
2. 计算高斯面的电通量：
   • 电通量的计算公式为 $\varPhi_E=\oint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}$。
   • 对于我们选取的圆柱面高斯面，它由侧面和两个底面组成。
   • 在圆柱面的两个底面上，电场方向沿径向，而底面的法向垂直于底面，即电场方向与底面法向垂直，所以 $\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=E dS\cos90^{\circ}=0$，那么通过两个底面的电通量为 $0$。
   • 在圆柱面的侧面上，电场方向与侧面法向平行，即 $\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=E dS\cos0^{\circ}=E dS$。
   • 侧面的面积 $S = 2\pi rL$，所以通过侧面的电通量 $\varPhi_E=\int_{侧面}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\int_{侧面}E dS=E\int_{侧面}dS=E\times 2\pi rL$。
3. 计算高斯面内的电荷量：
   • 已知导线的电荷量线密度为 $\lambda$，高斯面内导线的长度为 $L$，根据电荷量线密度的定义 $\lambda=\frac{q}{L}$，可得高斯面内的电荷量 $q = \lambda L$。
4. 应用高斯定律求解场强：
   • 高斯定律的表达式为 $\varPhi_E=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$，其中 $\varPhi_E$ 是通过高斯面的电通量，$q_{in}$ 是高斯面内的电荷量，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数。
   • 将前面计算得到的电通量 $\varPhi_E = E\times 2\pi rL$ 和电荷量 $q_{in}=\lambda L$ 代入高斯定律，得到 $E\times 2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$。
   • 求解上述方程，两边同时约去 $L$，可得 $E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$。
5. 确定电场方向：
   • 当 $\lambda>0$ 时，导线带正电，电场方向沿径向远离导线；当 $\lambda < 0$ 时，导线带负电，电场方向沿径向指向导线。
   • 用单位矢量 $\hat{r}$ 表示径向方向，最终电场强度的矢量表达式为 $\mathbf{E}=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}\hat{r}$。