题目

11.用T_(3)(x)的零点做插值点，求f(x)=e^x在区间[-1,1]上的二次插值多项式，并估计其最大误差界.

11.用$T_{3}(x)$的零点做插值点，求$f(x)=e^{x}$在区间[-1,1]上的二次插值多项式，并估计其最大误差界.

题目解答

答案

  1. 确定插值点：
    $T_3(x) = 4x^3 - 3x$ 的零点为 $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_1 = 0$，$x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$。

  2. 计算函数值：
    $f(x_0) = e^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，$f(x_1) = 1$，$f(x_2) = e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$。

  3. 牛顿插值多项式：
    $P_2(x) = f(x_0) + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1)$，
    其中 $f[x_0, x_1] \approx 1.590534$，$f[x_0, x_1, x_2] \approx 0.532042$，
    故 $P_2(x) \approx 2.377443 + 1.590534(x - 0.866025) + 0.532042(x - 0.866025)x$。

  4. 最大误差界：
    $R_2(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!} \prod_{i=0}^2 (x - x_i)$，
    $f^{(3)}(x) = e^x$，最大值为 $e$，
    $\prod_{i=0}^2 (x - x_i)$ 的最大绝对值为 $\frac{1}{4}$，
    故最大误差界为 $\frac{e}{24}$。

答案：
插值多项式：$\boxed{2.377443 + 1.590534(x - 0.866025) + 0.532042(x - 0.866025)x}$
最大误差界：$\boxed{\frac{e}{24}}$（或约 $0.1133$）。

解析

本题主要考察利用切比雪夫多项式的零点作为插值点，求解函数的二次插值多项式及估计最大误差界，具体步骤如下：

步骤1：确定插值点

题目要求用$T_3(x)$的零点做插值点。切比雪夫多项式$T_n(x)$的零点公式为$x_k=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)$，对$n=3$：

  • $k=1$时，$x_0=\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866025$
  • $k=2$时，$x_1=\cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
  • $k=3$时，$x_2=\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0.866025$

故$T_3(x)=4x^3-3x$的零点为$x_0=\frac{\sqrt{3}}{2},x_1=0,x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

步骤2：计算函数值

待插值函数$f(x)=e^x$，在插值点处的值为：

  • $f(x_0)=e^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx e^{0.866025}\approx2.377443$
  • $f(x_1)=e^0=1$
  • $f(x_2)=e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx e^{-0.866025}\approx0.422362$

步骤3：构造牛顿插值多项式

牛顿插值多项式形式为：
$P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)$

一阶均差

$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{1-2.377443}{0-0.866025}\approx\frac{-1.377443}{-0.866025}\approx1.590534$

二阶均差

$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$
其中$f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{0.422362-1}{-0.866025-0}\approx0.667121$，代入得：
$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0.667121-1.590534}{-1.73205}\approx\frac{-0.923413}{-1.73205}\approx0.532042$

插值多项式

代入得：
$P_2(x)\approx2.377443 + 1.590534(x - 0.866025) + 0.532042(x - 0.866025)x$

步骤4：估计最大误差界

插值余项公式为：
$R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\prod_{i=0}^2(x-x_i)$

关键分析

  • $f^{(3)}(x)=e^x$在$[-1,1]$上单调递增，最大值为$e^1=e$；
  • 对切比雪夫零点插值，$\prod_{i=0}^2(x-x_i)$的最大绝对值为$\frac{1}{2^{2n-1}}=\frac{1}{4}$（$n=2$时）。

误差界计算

$|R_2(x)|\leq\frac{e}{6}\cdot\frac{1}{4}=\frac{e}{24}\approx0.1133$