题目

(1)求曲线 ) x=ln (1+(t)^2) y=arctan t . 在 t=1 对应点处的切线方程和法线方程.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查参数方程所确定的曲线在某一点处的切线方程和法线方程的求解方法，涉及参数方程的导数计算及点斜式方程的应用。

解题核心思路：

  1. 确定曲线在t=1处的坐标点：将t=1代入参数方程，分别计算x和y的值。
  2. 计算导数dy/dx：利用参数方程求导公式 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$，分别求出 $\dfrac{dy}{dt}$ 和 $\dfrac{dx}{dt}$，再代入t=1求得斜率。
  3. 建立切线方程和法线方程：利用点斜式方程，结合切线斜率和法线斜率（负倒数关系）完成方程的书写。

破题关键点：

  • 正确应用参数方程求导规则，避免混淆分子分母。
  • 准确计算导数的值，尤其注意分母不为零的条件。
  • 代入点坐标时符号无误，确保方程的正确性。

第（1）题

步骤1：求曲线在t=1处的坐标点

将t=1代入参数方程：

  • $x = \ln(1 + t^2) = \ln(1 + 1^2) = \ln 2$
  • $y = \arctan t = \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$

对应点为 $(\ln 2, \dfrac{\pi}{4})$。

步骤2：计算导数dy/dx

  1. 求dy/dt：
    $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{d}{dt} (\arctan t) = \dfrac{1}{1 + t^2}$

  2. 求dx/dt：
    $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left( \ln(1 + t^2) \right) = \dfrac{2t}{1 + t^2}$

  3. 求dy/dx：
    $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{1}{1 + t^2}}{\dfrac{2t}{1 + t^2}} = \dfrac{1}{2t}$

  4. 代入t=1：
    $\left. \dfrac{dy}{dx} \right|_{t=1} = \dfrac{1}{2 \times 1} = \dfrac{1}{2}$

步骤3：建立切线方程和法线方程

  1. 切线方程：

    • 斜率 $k_{\text{切}} = \dfrac{1}{2}$
    • 点斜式方程：
      $y - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \left( x - \ln 2 \right)$
    • 整理得：
      $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \dfrac{\pi}{4}$

  2. 法线方程：

    • 斜率 $k_{\text{法}} = -2$（负倒数）
    • 点斜式方程：
      $y - \dfrac{\pi}{4} = -2 \left( x - \ln 2 \right)$
    • 整理得：
      $y = -2x + 2\ln 2 + \dfrac{\pi}{4}$