题目
例8用波长为589.3nm的平行钠黄光垂直照射光栅,已知光栅上每毫米中有500条刻痕,且刻痕的宽度与其间距相等试问最多能观察到几条亮条纹?并求第一级谱线和第三级谱线的衍射角
例8用波长为589.3nm的平行钠黄光垂直照射光栅,已知光栅上每毫米中有500条刻痕,且刻痕的宽度与其间距相等试问最多能观察到几条亮条纹?并求第一级谱线和第三级谱线的衍射角
题目解答
答案
【解析】根据每毫米内有500条刻痕,可以求得光栅常量为:1.00×10-500m=2.00×10-6m由于刻痕的宽度等于刻痕的间距,所以:d=2a 最多能观察到的谱线条数,就是在一个无限大的接收屏上能出现的所有谱线的条数.应先根据光栅方程求出在无限大接收屏上应该出现的条纹总数,然后考虑光栅缺级现象,看哪些条纹应属于缺级而消失的由于接收屏是无限大的,最大衍射角应在一π/2到+π/2之间由光栅方程:dsn(士)=kλ可以从中求得k的极值为3.4,取整数则为士3.这表示,按照光栅方程,在无限大接收屏上可以出现k值为0、士1、±2和±3七条谱线再看一下缺级问题由于缺级而在接收屏上消失的谱线的k值为:k=k'=2k',k'=±1,±2,±3,…当k=士1时,k=2,这表示k值为士2的谱线从接收屏上消失了于是出现在接收屏上的谱线只有5条,其k值分别为0,士1和±3根据光栅方程可以求出各级谱线所对应的衍射角.当k=1时,由光栅方程得sn==589.3×10-2.00×10-6=士0.2947∴=±178当k=±3时,由光栅方程得sn==3×589.3×10-92.00×10-6±0.88403=±62°8
解析
步骤 1：计算光栅常量
光栅常量 \(d\) 是指光栅上相邻两条刻痕之间的距离。已知每毫米有500条刻痕，因此光栅常量为：
\[ d = \frac{1}{500} \text{mm} = 2.00 \times 10^{-6} \text{m} \]
步骤 2：确定光栅方程
光栅方程为：
\[ d \sin \theta = k \lambda \]
其中，\(d\) 是光栅常量，\(\theta\) 是衍射角，\(k\) 是级数，\(\lambda\) 是入射光的波长。
步骤 3：计算最大级数
为了确定最多能观察到几条亮条纹，我们需要找到最大的 \(k\) 值。当 \(\sin \theta = 1\) 时，\(\theta = 90^\circ\)，此时 \(k\) 的值最大。因此，我们有：
\[ d = k \lambda \]
\[ k = \frac{d}{\lambda} = \frac{2.00 \times 10^{-6} \text{m}}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx 3.4 \]
取整数部分，\(k\) 的最大值为3，因此最多能观察到的亮条纹数为 \(2 \times 3 + 1 = 7\) 条（包括零级）。
步骤 4：计算第一级和第三级谱线的衍射角
对于第一级谱线（\(k = 1\)）：
\[ \sin \theta_1 = \frac{\lambda}{d} = \frac{589.3 \times 10^{-9} \text{m}}{2.00 \times 10^{-6} \text{m}} = 0.29465 \]
\[ \theta_1 = \sin^{-1}(0.29465) \approx 17.1^\circ \]
对于第三级谱线（\(k = 3\)）：
\[ \sin \theta_3 = \frac{3 \lambda}{d} = \frac{3 \times 589.3 \times 10^{-9} \text{m}}{2.00 \times 10^{-6} \text{m}} = 0.88395 \]
\[ \theta_3 = \sin^{-1}(0.88395) \approx 62.1^\circ \]
光栅常量 \(d\) 是指光栅上相邻两条刻痕之间的距离。已知每毫米有500条刻痕，因此光栅常量为：
\[ d = \frac{1}{500} \text{mm} = 2.00 \times 10^{-6} \text{m} \]
步骤 2：确定光栅方程
光栅方程为：
\[ d \sin \theta = k \lambda \]
其中，\(d\) 是光栅常量，\(\theta\) 是衍射角，\(k\) 是级数，\(\lambda\) 是入射光的波长。
步骤 3：计算最大级数
为了确定最多能观察到几条亮条纹，我们需要找到最大的 \(k\) 值。当 \(\sin \theta = 1\) 时，\(\theta = 90^\circ\)，此时 \(k\) 的值最大。因此，我们有：
\[ d = k \lambda \]
\[ k = \frac{d}{\lambda} = \frac{2.00 \times 10^{-6} \text{m}}{589.3 \times 10^{-9} \text{m}} \approx 3.4 \]
取整数部分，\(k\) 的最大值为3，因此最多能观察到的亮条纹数为 \(2 \times 3 + 1 = 7\) 条（包括零级）。
步骤 4：计算第一级和第三级谱线的衍射角
对于第一级谱线（\(k = 1\)）：
\[ \sin \theta_1 = \frac{\lambda}{d} = \frac{589.3 \times 10^{-9} \text{m}}{2.00 \times 10^{-6} \text{m}} = 0.29465 \]
\[ \theta_1 = \sin^{-1}(0.29465) \approx 17.1^\circ \]
对于第三级谱线（\(k = 3\)）：
\[ \sin \theta_3 = \frac{3 \lambda}{d} = \frac{3 \times 589.3 \times 10^{-9} \text{m}}{2.00 \times 10^{-6} \text{m}} = 0.88395 \]
\[ \theta_3 = \sin^{-1}(0.88395) \approx 62.1^\circ \]