设 D: x^2 + y^2 leq a^2, 则 iint_(D) sqrt(a^2 - x^2 - y^2) , dx , dy = ( )A. (4pi a^3)/(3)B. (2pi a^2)/(3)C. (2pi a^3)/(3)D. pi a^2

本题考查利用极坐标计算二重积分的知识。解题思路是先将直角坐标下的二重积分转化为极坐标下的二重积分，然后分别对极径和极角进行积分。

1. 将直角坐标转化为极坐标：
   在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且$dxdy = r drd\theta$。
   已知积分区域$D: x^2 + y^2 \leq a^2$，在极坐标下可表示为$0\leq r\leq a$，$0\leq \theta\leq 2\pi$。
   原积分$\iint_{D} \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dx \, dy$转化为极坐标形式为$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}\sqrt{a^2 - r^2}r dr$。
2. 计算关于$r$的积分：
   令$t = a^2 - r^2$，则$dt = -2r dr$，当$r = 0$时，$t = a^2$；当$r = a$时，$t = 0$。
   $\int_{0}^{a}\sqrt{a^2 - r^2}r dr=-\frac{1}{2}\int_{a^2}^{0}\sqrt{t}dt$
   根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
   $-\frac{1}{2}\int_{a^2}^{0}\sqrt{t}dt=-\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\big|_{a^2}^{0}$
   $=-\frac{1}{3}(0 - (a^2)^{\frac{3}{2}})=\frac{1}{3}a^3$
3. 计算关于$\theta$的积分：
   $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}\sqrt{a^2 - r^2}r dr=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}a^3d\theta$
   因为$\frac{1}{3}a^3$与$\theta$无关，所以$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}a^3d\theta=\frac{1}{3}a^3\int_{0}^{2\pi}d\theta$
   $\frac{1}{3}a^3\int_{0}^{2\pi}d\theta=\frac{1}{3}a^3\times\theta\big|_{0}^{2\pi}=\frac{2\pi a^3}{3}$