题目
yy''-(y')^2=1是二阶可降阶的微分方程，降阶方法是令（）A. (y')^2=P(x)B. y'=P(x)C. y'=P(y)D. y''=P(x)
$yy''-(y')^2=1$是二阶可降阶的微分方程，降阶方法是令（）
A. $(y')^2=P(x)$
B. $y'=P(x)$
C. $y'=P(y)$
D. $y''=P(x)$
题目解答
答案
C. $y'=P(y)$
解析
步骤 1：确定降阶方法
为了将二阶微分方程 $yy''-(y')^2=1$ 降阶，我们需要找到一个合适的变量替换。在给定的选项中，选项C $y'=P(y)$ 是一个合适的选择，因为这样可以将 $y''$ 表示为 $P$ 和 $y$ 的函数。
步骤 2：应用链式法则
令 $y' = P(y)$，则 $y'' = \frac{dP}{dx}$。由于 $P$ 是 $y$ 的函数，而 $y$ 是 $x$ 的函数，因此我们可以使用链式法则将 $y''$ 表示为 $y'' = \frac{dP}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dP}{dy} \cdot P$。
步骤 3：代入原方程
将 $y'' = \frac{dP}{dy} \cdot P$ 代入原方程 $yy'' - (y')^2 = 1$，得到： \[ y \left( \frac{dP}{dy} \cdot P \right) - P^2 = 1 \] 简化后得到： \[ yP \frac{dP}{dy} - P^2 = 1 \] 这是一个关于 $P$ 和 $y$ 的一阶微分方程，从而将原二阶微分方程降阶为一阶微分方程。
为了将二阶微分方程 $yy''-(y')^2=1$ 降阶，我们需要找到一个合适的变量替换。在给定的选项中，选项C $y'=P(y)$ 是一个合适的选择，因为这样可以将 $y''$ 表示为 $P$ 和 $y$ 的函数。
步骤 2：应用链式法则
令 $y' = P(y)$，则 $y'' = \frac{dP}{dx}$。由于 $P$ 是 $y$ 的函数，而 $y$ 是 $x$ 的函数，因此我们可以使用链式法则将 $y''$ 表示为 $y'' = \frac{dP}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dP}{dy} \cdot P$。
步骤 3：代入原方程
将 $y'' = \frac{dP}{dy} \cdot P$ 代入原方程 $yy'' - (y')^2 = 1$，得到： \[ y \left( \frac{dP}{dy} \cdot P \right) - P^2 = 1 \] 简化后得到： \[ yP \frac{dP}{dy} - P^2 = 1 \] 这是一个关于 $P$ 和 $y$ 的一阶微分方程，从而将原二阶微分方程降阶为一阶微分方程。