11 2012 （I）证明方程x^n+x^n-1+...+x=1(n为大于1的整数)在区间((1)/(2),1)内有且仅有一个实根；（II）记（I）中的实根为x_(n)，证明lim x_(n)存在，并求此极限.

题目考察知识

（I）主要考察零点定理（用于证明方程实根存在性）和函数单调性（用于证明实根唯一性）；（II）主要考察单调有界原理（用于证明数列极限存在）和方程极限运算（用于求解极限值）。

（I）证明方程在$(\frac{1}{2},1)$内有且仅有一个实根

步骤1：构造函数并验证连续性

定义函数$f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1$，这是多项式函数，在闭区间$[\frac{1}{2},1]$上连续。

步骤2：利用零点定理证明存在性

计算区间端点函数值：

• $f(1)=1^n+1^{n-1}+\cdots+1-1=n-1$（$n>1$时，$n-1>0$）；
• $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}-1$，等比数列求和得：
  $f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}-1=1-\frac{1}{2^n}-1=-\frac{1}{2^n}<0$。

由零点定理，存在$x_n\in(\frac{1}{2},1)$使$f(x_n)=0$，即方程有实根。

步骤3：利用单调性证明唯一性

对$f(x)$求导：$f'(x)=nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+\cdots+1$，在$x\in(\frac{1}{2},1)$时，每项均为正，故$f'(x)>0$，$f(x)$严格单调递增。因此，方程在$(\frac{1}{2},1)$内仅有一个实根。

（II）证明$\lim_{n\to\infty}x_n$存在并求极限

步骤1：证明数列$\{x_n\}$单调递减

由（I）知$x_n$满足：$x_n+x_n^2+\cdots+x_n^n=1$（等比数列求和：$\frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n}=1$）。

对$x_{n+1}$，同理有：$x_{n+1}+x_{n+1}^2+\cdots+x_{n+1}^{n+1}=1$。

比较两式：$x_{n+1}+x_{n+1}^2+\cdots+x_{n+1}^n < x_{n+1}+x_{n+1}^2+\cdots+x_{n+1}^{n+1}=1$，而$x_n+x_n^2+\cdots+x_n^n=1$，故$x_{n+1}

步骤2：利用单调有界原理证明极限存在

因$x_n\in(\frac{1}{2},1)$，数列$\{x_n\}$有下界$\frac{1}{2}$，由单调有界原理，$\lim_{n\to\infty}x_n=a$存在，且$a\in[\frac{1}{2},1)$。

步骤3：求解极限$a$

对等式$\frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n}=1$取极限：

• 因$|x_n|<1$，$\lim_{n\to\infty}x_n^n=0$；
• 代入得：$\frac{a(1-0)}{1-a}=1$，即$\frac{a}{1-a}=1$，解得$a=\frac{1}{2}$。