(4) ''=1+y''2 ,

考查要点：本题主要考查微分方程的求导与代换方法，需要学生掌握对微分方程两边同时求导的技巧，并能通过代换简化方程。

解题核心思路：题目给出的方程是关于$y'$的一阶微分方程，通过对等式两边同时求导，结合链式法则，可以得到更高阶的导数表达式。关键在于正确应用求导规则，并将已知关系代入化简。

破题关键点：

1. 识别方程类型：确认方程为关于$y'$的一阶微分方程。
2. 正确求导：对等式两边关于$x$求导时，注意应用链式法则。
3. 代换化简：将已知的$y'$表达式代入高阶导数的表达式中。

题目方程：$y' = 1 + y^2$（注：原题可能存在排版错误，实际应为一阶方程）

步骤1：对等式两边同时求导

对$y' = 1 + y^2$两边关于$x$求导：
$\frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(1 + y^2)$

步骤2：应用链式法则

左边为$y''$，右边对$y^2$求导：
$y'' = 2y \cdot y'$

步骤3：代入已知关系

将原方程中的$y' = 1 + y^2$代入上式：
$y'' = 2y \cdot (1 + y^2)$