[简答题]10.设随机变量UND的概率密度-|||-f(x)= { ,0lt xlt 2 0.xgeqslant 2 .-|||-(1)求a值;-|||-(2)求分布函数F(x);-|||-(3)求概率 (xleqslant 1).

考查要点：本题主要考查概率密度函数的归一性、分布函数的求解以及概率计算。

解题思路：

1. 求参数a：利用概率密度函数的归一性，即积分等于1，分段积分求解。
2. 求分布函数F(x)：根据概率密度函数分段积分，注意不同区间的积分下限和表达式。
3. 求概率P(X≤1)：直接代入分布函数F(x)在x=1处的值。

关键点：

• 归一性积分：分段积分时注意区间划分。
• 分布函数分段表达：不同区间积分的叠加。
• 概率计算：分布函数的连续性应用。

第（1）题：求a值

归一性条件：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$

分段积分：

1. 当$x \leq 0$时：$\int_{-\infty}^{0} a e^x \, dx = a \left[ e^x \right]_{-\infty}^{0} = a(1 - 0) = a$
2. 当$0 < x < 2$时：$\int_{0}^{2} \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$
3. 当$x \geq 2$时：积分值为0

方程求解：
$a + \frac{1}{2} = 1 \implies a = \frac{1}{2}$

第（2）题：求分布函数F(x)

分布函数定义：$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$

分段讨论：

1. 当$x < 0$时：
   $F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^t \, dt = \frac{1}{2} e^x$
2. 当$0 \leq x < 2$时：
   $F(x) = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^t \, dt + \int_{0}^{x} \frac{1}{4} \, dt = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x$
3. 当$x \geq 2$时：
   $F(x) = 1$

最终表达式：
$F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^x, & x < 0 \\\frac{1}{2} + \frac{1}{4}x, & 0 \leq x < 2 \\1, & x \geq 2 \end{cases}$

第（3）题：求概率P(X≤1)

直接代入分布函数：
$P(X \leq 1) = F(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$