题目
求老师帮助5.[单选题]-|||-∫∫|yz|dS,Z是 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 被 z=1 割下的有限部分.-|||-∑-|||-A 1-|||-B 2-|||-C sqrt (2)-|||-D)0
求老师帮助
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 是一个圆锥面，被平面 $z=1$ 割下，形成一个圆锥的有限部分。在 $z=1$ 处，$x^2+y^2=1$，即圆锥的底面是一个半径为1的圆。
步骤 2：参数化积分区域
为了计算积分，我们使用柱坐标系。设 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=r$，其中 $r$ 从0到1，$\theta$ 从0到$2\pi$。这样，$ds$ 可以表示为 $rdrd\theta$。
步骤 3：计算积分
积分 $\int_{\sum} |y| ds$ 可以表示为 $\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} |r\sin\theta| r dr d\theta$。由于 $|r\sin\theta|$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 的范围内对称，我们可以将积分简化为 $2\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} r^2 |\sin\theta| dr d\theta$。进一步简化为 $2\int_{0}^{1} r^2 dr \int_{0}^{\pi} |\sin\theta| d\theta$。
步骤 4：计算内层积分
$\int_{0}^{1} r^2 dr = \frac{1}{3}r^3|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$。
步骤 5：计算外层积分
$\int_{0}^{\pi} |\sin\theta| d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta d\theta = 2[-\cos\theta]|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2$。
步骤 6：计算最终结果
将内层积分和外层积分的结果相乘，得到 $\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$。但是，由于我们只计算了半个圆锥的积分，所以需要乘以2，得到最终结果为2。
$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 是一个圆锥面，被平面 $z=1$ 割下，形成一个圆锥的有限部分。在 $z=1$ 处，$x^2+y^2=1$，即圆锥的底面是一个半径为1的圆。
步骤 2：参数化积分区域
为了计算积分，我们使用柱坐标系。设 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=r$，其中 $r$ 从0到1，$\theta$ 从0到$2\pi$。这样，$ds$ 可以表示为 $rdrd\theta$。
步骤 3：计算积分
积分 $\int_{\sum} |y| ds$ 可以表示为 $\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} |r\sin\theta| r dr d\theta$。由于 $|r\sin\theta|$ 在 $0$ 到 $2\pi$ 的范围内对称，我们可以将积分简化为 $2\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} r^2 |\sin\theta| dr d\theta$。进一步简化为 $2\int_{0}^{1} r^2 dr \int_{0}^{\pi} |\sin\theta| d\theta$。
步骤 4：计算内层积分
$\int_{0}^{1} r^2 dr = \frac{1}{3}r^3|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$。
步骤 5：计算外层积分
$\int_{0}^{\pi} |\sin\theta| d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta d\theta = 2[-\cos\theta]|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2$。
步骤 6：计算最终结果
将内层积分和外层积分的结果相乘，得到 $\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$。但是，由于我们只计算了半个圆锥的积分，所以需要乘以2，得到最终结果为2。