4.设函数z=e^x^(2sin y)，求(partial z)/(partial x),(partial z)/(partial y),(partial ^2z)/(partial xpartial y).
题目解答
答案
设 $ z = e^{x^2 \sin y} $，则 1. $\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^2 \sin y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 \sin y) = 2x \sin y \, e^{x^2 \sin y}$， 2. $\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^2 \sin y} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 \sin y) = x^2 \cos y \, e^{x^2 \sin y}$， 3. $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 \cos y \, e^{x^2 \sin y}\right) = 2x \cos y \left(x^2 \sin y + 1\right) e^{x^2 \sin y}$。 答案： $\boxed{ \begin{array}{ccc} \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin y \, e^{x^2 \sin y}, \\ \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cos y \, e^{x^2 \sin y}, \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2x \cos y \left(x^2 \sin y + 1\right) e^{x^2 \sin y}. \end{array} }$
解析
本题主要考查多元函数的偏导数和二阶混合偏导数的计算。解题的关键在于运用复合函数求导法则，对于形如$z = f(g(x,y))$的函数，其偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}=f^\prime(g(x,y))\cdot\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=f^\prime(g(x,y))\cdot\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}$。
1. 求$\frac{\partial z}{\partial x}$
已知$z = e^{x^2 \sin y}$，令$u = x^2 \sin y$，则$z = e^u$。
根据复合函数求导法则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。
- 先对$z = e^u$关于$u$求导，$\frac{dz}{du}=e^u$。
- 再对$u = x^2 \sin y$关于$x$求偏导数，此时把$y$看作常数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=2x\sin y$。
- 所以$\frac{\partial z}{\partial x}=e^u\cdot2x\sin y$，将$u = x^2 \sin y$代回，得到$\frac{\partial z}{\partial x}=2x\sin y\cdot e^{x^2 \sin y}$。
2. 求$\frac{\partial z}{\partial y}$
同样令$u = x^2 \sin y$，$z = e^u$，根据复合函数求导法则$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$。
- 因为$\frac{dz}{du}=e^u$。
- 对$u = x^2 \sin y$关于$y$求偏导数，此时把$x$看作常数，根据求导公式$(\sin X)^\prime=\cos X$，可得$\frac{\partial u}{\partial y}=x^2\cos y$。
- 所以$\frac{\partial z}{\partial y}=e^u\cdot x^2\cos y$，将$u = x^2 \sin y$代回，得到$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2\cos y\cdot e^{x^2 \sin y}$。
3. 求$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
由前面计算可知$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2\cos y\cdot e^{x^2 \sin y}$，现在对其关于$x$求偏导数。
根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，令$u = x^2\cos y$，$v = e^{x^2 \sin y}$。
- 先对$u = x^2\cos y$关于$x$求偏导数，把$y$看作常数，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=2x\cos y$。
- 再对$v = e^{x^2 \sin y}$关于$x$求偏导数，令$t = x^2 \sin y$，则$v = e^t$，根据复合函数求导法则$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{dv}{dt}\cdot\frac{\partial t}{\partial x}$，$\frac{dv}{dt}=e^t$，$\frac{\partial t}{\partial x}=2x\sin y$，所以$\frac{\partial v}{\partial x}=2x\sin y\cdot e^{x^2 \sin y}$。
- 则$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}v + u\frac{\partial v}{\partial x}=2x\cos y\cdot e^{x^2 \sin y}+x^2\cos y\cdot2x\sin y\cdot e^{x^2 \sin y}$。
提取公因式$2x\cos y\cdot e^{x^2 \sin y}$，可得$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=2x\cos y\cdot e^{x^2 \sin y}(1 + x^2\sin y)$。