题目
9. (12.0分) iintlimits_(D)(x^2+y^2-x)dsigma，其中，D是 由直线y=2、y=x及y=2x所围成的闭区域。
9. (12.0分) $\iint\limits_{D}(x^{2}+y^{2}-x)d\sigma$，其中，D是
由直线y=2、y=x及y=2x所围成的闭区域。
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 描述为 $y$-型区域：
\[ D = \left\{ (x, y) \mid \frac{y}{2} \le x \le y, \, 0 \le y \le 2 \right\}. \]
计算内积分：
\[ \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx = \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8}. \]
计算外积分：
\[ \int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6}. \]
**答案：**
\[ \boxed{\frac{13}{6}} \]
解析
步骤 1：确定积分区域 $D$
积分区域 $D$ 由直线 $y=2$、$y=x$ 和 $y=2x$ 所围成。为了方便计算，我们将其描述为 $y$-型区域，即 $x$ 的范围由 $y$ 的值决定。因此，$D$ 可以表示为：\[ D = \left\{ (x, y) \mid \frac{y}{2} \le x \le y, \, 0 \le y \le 2 \right\}. \]
步骤 2：计算内积分
首先，计算内积分 $\int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx$。将被积函数 $x^2 + y^2 - x$ 对 $x$ 积分，得到：\[ \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + y^2x - \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{y}{2}}^{y}. \] 将上下限代入，计算得到：\[ \left( \frac{y^3}{3} + y^3 - \frac{y^2}{2} \right) - \left( \frac{y^3}{24} + \frac{y^3}{2} - \frac{y^2}{8} \right) = \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8}. \]
步骤 3：计算外积分
接下来，计算外积分 $\int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy$。将被积函数 $\frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8}$ 对 $y$ 积分，得到：\[ \int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy = \left[ \frac{19y^4}{96} - \frac{y^3}{8} \right]_{0}^{2}. \] 将上下限代入，计算得到：\[ \left( \frac{19 \cdot 2^4}{96} - \frac{2^3}{8} \right) - 0 = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6}. \]
积分区域 $D$ 由直线 $y=2$、$y=x$ 和 $y=2x$ 所围成。为了方便计算，我们将其描述为 $y$-型区域，即 $x$ 的范围由 $y$ 的值决定。因此，$D$ 可以表示为：\[ D = \left\{ (x, y) \mid \frac{y}{2} \le x \le y, \, 0 \le y \le 2 \right\}. \]
步骤 2：计算内积分
首先，计算内积分 $\int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx$。将被积函数 $x^2 + y^2 - x$ 对 $x$ 积分，得到：\[ \int_{\frac{y}{2}}^{y} (x^2 + y^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + y^2x - \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{y}{2}}^{y}. \] 将上下限代入，计算得到：\[ \left( \frac{y^3}{3} + y^3 - \frac{y^2}{2} \right) - \left( \frac{y^3}{24} + \frac{y^3}{2} - \frac{y^2}{8} \right) = \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8}. \]
步骤 3：计算外积分
接下来，计算外积分 $\int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy$。将被积函数 $\frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8}$ 对 $y$ 积分，得到：\[ \int_{0}^{2} \left( \frac{19y^3}{24} - \frac{3y^2}{8} \right) \, dy = \left[ \frac{19y^4}{96} - \frac{y^3}{8} \right]_{0}^{2}. \] 将上下限代入，计算得到：\[ \left( \frac{19 \cdot 2^4}{96} - \frac{2^3}{8} \right) - 0 = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6}. \]