16.lim_(x to infty )(cos (1)/(x)+sin (1)/(x))^(x)/(2)=____.

为了求解极限 $\lim_{x \to \infty }(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x})^{\frac{x}{2}}$，我们可以使用自然对数和指数函数的性质来简化问题。下面是一个逐步的解题过程： 1. **取自然对数：** 设 $y = (\cos \frac{1}{x} + \sin \frac{1}{x})^{\frac{x}{2}}$。则，取自然对数得到： \[ \ln y = \ln \left( (\cos \frac{1}{x} + \sin \frac{1}{x})^{\frac{x}{2}} \right) = \frac{x}{2} \ln \left( \cos \frac{1}{x} + \sin \frac{1}{x} \right). \] 2. **求极限：** 我们需要求 $\lim_{x \to \infty} \ln y$。这等价于求： \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2} \ln \left( \cos \frac{1}{x} + \sin \frac{1}{x} \right). \] 令 $u = \frac{1}{x}$。当 $x \to \infty$ 时，$u \to 0$。因此，极限变为： \[ \lim_{u \to 0} \frac{1}{2u} \ln \left( \cos u + \sin u \right). \] 3. **使用泰勒展开：** 对于小的 $u$，我们可以使用 $\cos u$ 和 $\sin u$ 的泰勒展开： \[ \cos u \approx 1 - \frac{u^2}{2}, \quad \sin u \approx u - \frac{u^3}{6}. \] 因此， \[ \cos u + \sin u \approx 1 - \frac{u^2}{2} + u - \frac{u^3}{6} \approx 1 + u. \] （对于 $u \to 0$，高阶项可以忽略。） 4. **简化对数：** 使用对数的近似 $\ln(1 + v) \approx v$ 对于小的 $v$，我们得到： \[ \ln \left( \cos u + \sin u \right) \approx \ln(1 + u) \approx u. \] 所以，极限变为： \[ \lim_{u \to 0} \frac{1}{2u} \cdot u = \lim_{u \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \] 5. **返回原变量：** 由于 $\ln y \to \frac{1}{2}$ 当 $x \to \infty$，我们有： \[ y \to e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}. \] 因此，原极限的值是 $\boxed{\sqrt{e}}$。