题目
4.质量为1g的质点受外力作用做直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度-|||-成反比.在 t=10s 时,速度等于 /s, 外力为 cdot (cm/s)^2, 问从运动开始经过了1min后的-|||-速度是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立微分方程
根据题设条件，外力 $f$ 与时间 $t$ 成正比，与速度 $v$ 成反比，即 $f = kt/v$，其中 $k$ 是比例常数。根据牛顿第二定律，$f = mv'$，其中 $m$ 是质点的质量，$v'$ 是速度的导数。因此，我们有 $mv' = kt/v$。由于质点的质量 $m = 1g$，可以简化为 $v' = kt/v$。
步骤 2：确定比例常数 $k$
根据题目给出的条件，在 $t = 10s$ 时，速度 $v = 50cm/s$，外力 $f = 4g\cdot cm/s^2$。代入 $f = kt/v$，得到 $4 = k \cdot 10 / 50$，从而解得 $k = 20$。
步骤 3：求解微分方程
将 $k = 20$ 代入微分方程 $v' = 20t/v$，得到 $v' = 20t/v$。分离变量，得到 $vdv = 20tdt$。两边积分，得到 $\int vdv = \int 20tdt$，即 $\frac{1}{2}v^2 = 10t^2 + C$，其中 $C$ 是积分常数。代入初始条件 $t = 10s$，$v = 50cm/s$，得到 $C = 500$。因此，特解为 $v = \sqrt{20t^2 + 500}$。
步骤 4：计算 $t = 60s$ 时的速度
将 $t = 60s$ 代入特解 $v = \sqrt{20t^2 + 500}$，得到 $v = \sqrt{20 \times 60^2 + 500} = \sqrt{72500} \approx 269.3cm/s$。
根据题设条件，外力 $f$ 与时间 $t$ 成正比，与速度 $v$ 成反比，即 $f = kt/v$，其中 $k$ 是比例常数。根据牛顿第二定律，$f = mv'$，其中 $m$ 是质点的质量，$v'$ 是速度的导数。因此，我们有 $mv' = kt/v$。由于质点的质量 $m = 1g$，可以简化为 $v' = kt/v$。
步骤 2：确定比例常数 $k$
根据题目给出的条件，在 $t = 10s$ 时，速度 $v = 50cm/s$，外力 $f = 4g\cdot cm/s^2$。代入 $f = kt/v$，得到 $4 = k \cdot 10 / 50$，从而解得 $k = 20$。
步骤 3：求解微分方程
将 $k = 20$ 代入微分方程 $v' = 20t/v$，得到 $v' = 20t/v$。分离变量，得到 $vdv = 20tdt$。两边积分，得到 $\int vdv = \int 20tdt$，即 $\frac{1}{2}v^2 = 10t^2 + C$，其中 $C$ 是积分常数。代入初始条件 $t = 10s$，$v = 50cm/s$，得到 $C = 500$。因此，特解为 $v = \sqrt{20t^2 + 500}$。
步骤 4：计算 $t = 60s$ 时的速度
将 $t = 60s$ 代入特解 $v = \sqrt{20t^2 + 500}$，得到 $v = \sqrt{20 \times 60^2 + 500} = \sqrt{72500} \approx 269.3cm/s$。