例2 设f(x)是周期为2π的周期函数,它在 (-pi ,pi ] 上的表达式为-|||-f(x)= ) -1, -pi lt xleqslant 0 1+(x)^2, 0lt xleqslant pi .-|||-试写出f(x)的傅里叶级数展开式在区间 (-pi ,pi ] 上的和函数s(x)的表达式,

考查要点：本题主要考查傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷定理）的应用，以及如何根据原函数的连续性和间断点确定和函数的表达式。

解题核心思路：

1. 判断函数的连续性和间断点：确定原函数在区间$(-\pi, \pi]$上的连续点和第一类间断点。
2. 应用收敛定理：
   • 连续点：和函数$s(x)$等于原函数$f(x)$的值。
   • 第一类间断点：和函数$s(x)$等于左右极限的平均值。
3. 处理周期延拓后的特殊点：特别注意$x=\pi$处的左右极限，需结合周期性分析。

破题关键：

• 识别间断点：$x=0$（左右极限分别为$-1$和$1$）和$x=\pi$（左侧极限为$1+\pi^2$，右侧极限为$-1$）。
• 正确计算平均值：在间断点处，严格按收敛定理计算左右极限的平均值。

步骤1：分析函数连续性

• 区间$(-\pi, 0)$：$f(x) = -1$，连续。
• 区间$(0, \pi)$：$f(x) = 1+x^2$，连续。
• 间断点：
  • $x=0$：左极限$f(0^-) = -1$，右极限$f(0^+) = 1$。
  • $x=\pi$：左极限$f(\pi^-) = 1+\pi^2$，右极限$f(\pi^+) = f(-\pi^+) = -1$（周期延拓后）。

步骤2：应用收敛定理

1. 连续点：
   • $s(x) = f(x)$在$(-\pi, 0) \cup (0, \pi)$成立。
2. 间断点$x=0$：
   • 平均值：$s(0) = \dfrac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \dfrac{-1 + 1}{2} = 0$。
3. 间断点$x=\pi$：
   • 平均值：$s(\pi) = \dfrac{f(\pi^-) + f(\pi^+)}{2} = \dfrac{(1+\pi^2) + (-1)}{2} = \dfrac{\pi^2}{2}$。

步骤3：综合结果

• 区间内连续部分：直接取原函数值。
• 间断点单独赋值：$x=0$和$x=\pi$处取平均值。