题目
部队前哨站的雷达监测范围为 100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北 30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向 150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？A.sqrt (3)+1B.sqrt (3)+1C.sqrt (3)+1D.sqrt (3)+1
部队前哨站的雷达监测范围为 100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北 30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向 150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
- A.
- B.
- C.
- D.
题目解答
答案
C
解析
步骤 1：确定可疑无人机和我方无人机的初始位置
可疑无人机位于前哨站正东偏北30°100千米处，我方无人机位于前哨站正南150千米处。设前哨站为原点O，可疑无人机初始位置为A，我方无人机初始位置为B。则OA=100千米，OB=150千米，∠AOB=120°（因为正东偏北30°和正南方向的夹角为120°）。
步骤 2：确定可疑无人机和我方无人机的运动轨迹
可疑无人机沿正西方向匀速飞行，我方无人机沿正北方向匀速飞行。设可疑无人机速度为v，我方无人机速度为u，它们相遇点为C。则AC=v*t，BC=u*t，其中t为相遇时间。
步骤 3：利用余弦定理求解相遇点C的位置
在△OAC中，根据余弦定理，有：
\[ OC^2 = OA^2 + AC^2 - 2 \cdot OA \cdot AC \cdot \cos(120°) \]
\[ OC^2 = 100^2 + (v \cdot t)^2 - 2 \cdot 100 \cdot v \cdot t \cdot (-\frac{1}{2}) \]
\[ OC^2 = 10000 + v^2 \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t \]
在△OBC中，根据余弦定理，有：
\[ OC^2 = OB^2 + BC^2 - 2 \cdot OB \cdot BC \cdot \cos(90°) \]
\[ OC^2 = 150^2 + (u \cdot t)^2 \]
\[ OC^2 = 22500 + u^2 \cdot t^2 \]
将两个OC^2的表达式相等，得到：
\[ 10000 + v^2 \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t = 22500 + u^2 \cdot t^2 \]
\[ v^2 \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t - u^2 \cdot t^2 = 12500 \]
\[ (v^2 - u^2) \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t - 12500 = 0 \]
步骤 4：求解速度比
由于我方无人机和可疑无人机相遇，所以它们的飞行时间相同，即t相同。因此，我们可以将上式看作关于v的二次方程，解得：
\[ v = \frac{-100 \pm \sqrt{100^2 + 4 \cdot (v^2 - u^2) \cdot 12500}}{2 \cdot (v^2 - u^2)} \]
由于v和u都是正数，所以取正根，得到：
\[ v = \frac{-100 + \sqrt{100^2 + 4 \cdot (v^2 - u^2) \cdot 12500}}{2 \cdot (v^2 - u^2)} \]
化简得：
\[ v = \frac{4}{3} \sqrt{3} u \]
因此，我方无人机速度是可疑无人机速度的$\frac{4}{3} \sqrt{3}$倍。
可疑无人机位于前哨站正东偏北30°100千米处，我方无人机位于前哨站正南150千米处。设前哨站为原点O，可疑无人机初始位置为A，我方无人机初始位置为B。则OA=100千米，OB=150千米，∠AOB=120°（因为正东偏北30°和正南方向的夹角为120°）。
步骤 2：确定可疑无人机和我方无人机的运动轨迹
可疑无人机沿正西方向匀速飞行，我方无人机沿正北方向匀速飞行。设可疑无人机速度为v，我方无人机速度为u，它们相遇点为C。则AC=v*t，BC=u*t，其中t为相遇时间。
步骤 3：利用余弦定理求解相遇点C的位置
在△OAC中，根据余弦定理，有：
\[ OC^2 = OA^2 + AC^2 - 2 \cdot OA \cdot AC \cdot \cos(120°) \]
\[ OC^2 = 100^2 + (v \cdot t)^2 - 2 \cdot 100 \cdot v \cdot t \cdot (-\frac{1}{2}) \]
\[ OC^2 = 10000 + v^2 \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t \]
在△OBC中，根据余弦定理，有：
\[ OC^2 = OB^2 + BC^2 - 2 \cdot OB \cdot BC \cdot \cos(90°) \]
\[ OC^2 = 150^2 + (u \cdot t)^2 \]
\[ OC^2 = 22500 + u^2 \cdot t^2 \]
将两个OC^2的表达式相等，得到：
\[ 10000 + v^2 \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t = 22500 + u^2 \cdot t^2 \]
\[ v^2 \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t - u^2 \cdot t^2 = 12500 \]
\[ (v^2 - u^2) \cdot t^2 + 100 \cdot v \cdot t - 12500 = 0 \]
步骤 4：求解速度比
由于我方无人机和可疑无人机相遇，所以它们的飞行时间相同，即t相同。因此，我们可以将上式看作关于v的二次方程，解得：
\[ v = \frac{-100 \pm \sqrt{100^2 + 4 \cdot (v^2 - u^2) \cdot 12500}}{2 \cdot (v^2 - u^2)} \]
由于v和u都是正数，所以取正根，得到：
\[ v = \frac{-100 + \sqrt{100^2 + 4 \cdot (v^2 - u^2) \cdot 12500}}{2 \cdot (v^2 - u^2)} \]
化简得：
\[ v = \frac{4}{3} \sqrt{3} u \]
因此，我方无人机速度是可疑无人机速度的$\frac{4}{3} \sqrt{3}$倍。