部队前哨站的雷达监测范围为 100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北 30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向 150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？A.sqrt (3)+1B.sqrt (3)+1C.sqrt (3)+1D.sqrt (3)+1

考查要点：本题主要考查平面直角坐标系中的运动问题，涉及匀速直线运动的相对位置关系及速度比例计算。关键在于建立坐标系，分析两架无人机的运动轨迹，通过坐标相等建立方程求解速度比。

解题核心思路：

1. 确定初始位置：将前哨站设为坐标原点，利用极坐标转换确定可疑无人机的初始坐标。
2. 分析运动轨迹：可疑无人机向正西飞行（x坐标减少，y坐标不变），我方无人机向正北飞行（y坐标增加，x坐标不变）。
3. 建立方程：相遇时两架无人机的坐标相同，联立方程求解时间，进而得到速度比。

破题关键点：

• 正确转换极坐标为直角坐标，明确可疑无人机的初始位置。
• 区分两架无人机的运动方向，正确表达它们的坐标随时间的变化关系。
• 联立方程消去时间变量，直接求解速度比。

坐标系建立与初始位置

• 前哨站为坐标原点 $(0, 0)$。
• 可疑无人机初始位置：正东偏北 $30^\circ$，距离 $100$ 千米。
  转换为直角坐标：
  $x = 100 \cos 30^\circ = 50\sqrt{3}, \quad y = 100 \sin 30^\circ = 50$
  即初始坐标为 $(50\sqrt{3}, 50)$。

运动轨迹分析

• 可疑无人机向正西飞行，速度为 $v$，其坐标随时间 $t$ 的变化为：
  $x = 50\sqrt{3} - v t, \quad y = 50$
• 我方无人机从正南 $150$ 千米处（坐标 $(0, -150)$）向正北飞行，速度为 $k v$，其坐标随时间 $t$ 的变化为：
  $x = 0, \quad y = -150 + k v t$

相遇条件

相遇时两架无人机坐标相同，联立方程：

1. x 坐标相等：
   $50\sqrt{3} - v t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{50\sqrt{3}}{v}$
2. y 坐标相等：
   $-150 + k v t = 50 \quad \Rightarrow \quad k v t = 200 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{200}{k v}$

求解速度比

联立两式消去 $t$：
$\frac{50\sqrt{3}}{v} = \frac{200}{k v} \quad \Rightarrow \quad k = \frac{200}{50\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$