题目

33．将 A , B , C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 α ，而输出为其他一字母的概率都是（1-α)/2．今将字母串 AAAA , BBBB , CCCC 之一输入信道，输入 AAAA , BBBB , CCCC 的概率分别为 01,p2, _(3)((P)_(1)+(P)_(2)+(P)_(3)=1)，已知输出为 ABCA ，问输入的是 AAAA 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的．)

33．将 A , B , C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 α ，而输出为其他一字母的概率都是（1-α)/2．今将字母串 AAAA , BBBB , CCCC 之一输入信道，输入 AAAA , BBBB , CCCC 的概率分别为 $p_1,p_2,p_3\left(p_1+p_2+p_3=1\right)$ ，已知输出为 ABCA ，问输入的是 AAAA 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的．)

题目解答

答案

解答如下：

$\begin{aligned}\text{}&\text{ 以 }A_1,B_1,\text{ C , }\text{ 分别表示事件输入 }\mathrm{AAAA$

在输入为AAAA（即事件 $A_1$ ）输出为ABCD（即事件D）,有两个字母为原字

$\begin{gathered} \text{母 ,另两字母为其他字母,所以} \\ P(D|A_{1})=\alpha^{2}\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)^{2}. \\ \text{同理},P(D|B_{1})=P(D|C_{1})=a\left(\frac{1-\alpha}{2}\right)^{3}.\text{代人上式并注意到 }p_{1}+p_{2}+p_{3}=1,\text{得} \\ \text{到} \\ P(A_{1}\mid D)=\frac{2\alpha p_{1}}{\left(3\alpha-1\right)p_{1}+1-\alpha}. \end{gathered}$

解析

步骤 1：定义事件
设事件A1表示输入AAAA，事件B1表示输入BBBB，事件C1表示输入CCCC，事件D表示输出ABCA。
步骤 2：计算条件概率
根据题意，输出为原字母的概率为α，输出为其他字母的概率为(1-α)/2。因此，对于事件A1，输出ABCA的概率为P(D|A1) = α * (1-α)/2 * (1-α)/2 * α = α^2 * (1-α)^2 / 4。
步骤 3：计算全概率
根据全概率公式，P(D) = P(D|A1)P(A1) + P(D|B1)P(B1) + P(D|C1)P(C1)。
步骤 4：计算P(D|B1)和P(D|C1)
对于事件B1，输出ABCA的概率为P(D|B1) = (1-α)/2 * α * (1-α)/2 * (1-α)/2 = α * (1-α)^3 / 8。
对于事件C1，输出ABCA的概率为P(D|C1) = (1-α)/2 * (1-α)/2 * (1-α)/2 * (1-α)/2 = (1-α)^4 / 16。
步骤 5：计算P(D)
P(D) = α^2 * (1-α)^2 / 4 * p1 + α * (1-α)^3 / 8 * p2 + (1-α)^4 / 16 * p3。
步骤 6：计算P(A1|D)
根据贝叶斯公式，P(A1|D) = P(D|A1)P(A1) / P(D) = (α^2 * (1-α)^2 / 4 * p1) / (α^2 * (1-α)^2 / 4 * p1 + α * (1-α)^3 / 8 * p2 + (1-α)^4 / 16 * p3)。