[题目]一质点沿半径为1m的圆周运动,运动方-|||-程为 theta =2+3(t)^3, 式中θ以rad计,t以s计,求:-|||-(1) t=2s 时,质点的切向和法向加速度;-|||-(2)当加速度的方向和半径成45°角时,其角位-|||-移是多少?

考查要点：本题主要考查圆周运动中角速度、线速度、切向加速度和法向加速度的计算，以及加速度方向与半径夹角的条件应用。

解题思路：

1. 第一问：通过运动方程求导得到角速度，进而求出线速度和切向加速度；利用角速度计算法向加速度。
2. 第二问：当加速度方向与半径成45°角时，切向加速度和法向加速度大小相等，建立方程求解时间，代入运动方程求角位移。

关键点：

• 圆周运动基本公式：角速度$\omega = \frac{d\theta}{dt}$，线速度$v = \omega R$，切向加速度$a_t = \frac{dv}{dt}$，法向加速度$a_n = \omega^2 R$。
• 矢量合成关系：当$a_t = a_n$时，总加速度方向与半径成45°角。

第（1）题

求角速度

由运动方程$\theta = 2 + 3t^3$，对时间求导得角速度：
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 9t^2$

求线速度

线速度大小为：
$v = \omega R = 9t^2 \cdot 1 = 9t^2$

求切向加速度

对线速度求导得切向加速度：
$a_t = \frac{dv}{dt} = 18t$
当$t = 2\,\text{s}$时：
$a_t = 18 \cdot 2 = 36\,\text{m/s}^2$

求法向加速度

法向加速度为：
$a_n = \omega^2 R = (9t^2)^2 \cdot 1 = 81t^4$
当$t = 2\,\text{s}$时：
$a_n = 81 \cdot 2^4 = 1296\,\text{m/s}^2$

第（2）题

建立方程

当加速度方向与半径成45°角时，切向加速度与法向加速度大小相等：
$a_t = a_n$
代入表达式：
$18t = 81t^4$

解方程

整理得：
$81t^4 - 18t = 0 \implies t(81t^3 - 18) = 0$
解得$t = 0$（舍去）或：
$t^3 = \frac{18}{81} = \frac{2}{9} \implies t = \left(\frac{2}{9}\right)^{1/3}$

求角位移

将$t^3 = \frac{2}{9}$代入运动方程：
$\theta = 2 + 3t^3 = 2 + 3 \cdot \frac{2}{9} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\,\text{rad}$
（注：原答案$\frac{13}{6}\,\text{rad}$存在计算错误，正确结果应为$\frac{8}{3}\,\text{rad}$）