题目
设三阶方阵 A 的特征值为 1、2、-1，B=A^3-2A^2-A+2E，则 B 是A. 满秩阵B. 秩(B)=2C. 秩(B)=1D. B=0
设三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1$、$2$、$-1$，$B=A^{3}-2A^{2}-A+2E$，则 $B$ 是
A. 满秩阵
B. 秩($B$)=2
C. 秩($B$)=1
D. $B=0$
题目解答
答案
D. $B=0$
解析
步骤 1：计算 $B$ 的特征值
已知 $A$ 的特征值为 $1$、$2$、$-1$。我们需要找到 $B$ 的特征值，然后利用它们来确定 $B$ 的秩。设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值。那么存在一个非零向量 $v$ 使得 $Av = \lambda v$。我们需要找到 $Bv$：
\[ Bv = (A^3 - 2A^2 - A + 2E)v = A^3v - 2A^2v - Av + 2Ev \]
利用 $Av = \lambda v$，我们有：
\[ A^2v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda Av = \lambda^2 v \]
\[ A^3v = A(A^2v) = A(\lambda^2 v) = \lambda^2 Av = \lambda^3 v \]
\[ Ev = v \]
将这些代入 $Bv$ 的表达式中，我们得到：
\[ Bv = \lambda^3 v - 2\lambda^2 v - \lambda v + 2v = (\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2)v \]
因此，$B$ 的特征值是 $\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2$，其中 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。我们需要为 $A$ 的每个特征值计算这个表达式：
1. 对于 $\lambda = 1$：
\[ 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 \]
2. 对于 $\lambda = 2$：
\[ 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 \]
3. 对于 $\lambda = -1$：
\[ (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0 \]
步骤 2：确定 $B$ 的秩
$B$ 的特征值都是 $0$。由于 $B$ 的特征值都是 $0$，$B$ 是一个零矩阵。因此，$B$ 的秩是 $0$。
已知 $A$ 的特征值为 $1$、$2$、$-1$。我们需要找到 $B$ 的特征值，然后利用它们来确定 $B$ 的秩。设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值。那么存在一个非零向量 $v$ 使得 $Av = \lambda v$。我们需要找到 $Bv$：
\[ Bv = (A^3 - 2A^2 - A + 2E)v = A^3v - 2A^2v - Av + 2Ev \]
利用 $Av = \lambda v$，我们有：
\[ A^2v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda Av = \lambda^2 v \]
\[ A^3v = A(A^2v) = A(\lambda^2 v) = \lambda^2 Av = \lambda^3 v \]
\[ Ev = v \]
将这些代入 $Bv$ 的表达式中，我们得到：
\[ Bv = \lambda^3 v - 2\lambda^2 v - \lambda v + 2v = (\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2)v \]
因此，$B$ 的特征值是 $\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2$，其中 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。我们需要为 $A$ 的每个特征值计算这个表达式：
1. 对于 $\lambda = 1$：
\[ 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0 \]
2. 对于 $\lambda = 2$：
\[ 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 \]
3. 对于 $\lambda = -1$：
\[ (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0 \]
步骤 2：确定 $B$ 的秩
$B$ 的特征值都是 $0$。由于 $B$ 的特征值都是 $0$，$B$ 是一个零矩阵。因此，$B$ 的秩是 $0$。