题目
20. (8.0分) A=(}1&23&5),则 AX=B,则 X=? (请同学们把解题过程写在草稿纸上，然后拍照上传)
20. (8.0分) $A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)$, $B=\left(\begin{matrix}3&4\\5&6\end{matrix}\right)$,则 $AX=B$,则 X=? (请同学们把解题过程写在草稿纸上，然后拍照上传)
题目解答
答案
为了求解矩阵方程 $AX = B$，其中 $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}$，我们需要找到矩阵 $X$。解这个方程的步骤如下：
1. **求矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$：**
矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 可以通过公式 $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ 求得，其中 $\det(A)$ 是 $A$ 的行列式，$\text{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵。
首先，计算 $A$ 的行列式：
\[
\det(A) = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1
\]
接下来，求 $A$ 的伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。伴随矩阵是 $A$ 的余子式矩阵的转置。 $A$ 的余子式矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
5 & -3 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}
\]
因此，伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 为：
\[
\begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}
\]
于是，逆矩阵 $A^{-1}$ 为：
\[
A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
3 & -1
\end{pmatrix}
\]
2. **用 $A^{-1}$ 左乘方程 $AX = B$ 的两边：**
\[
A^{-1}AX = A^{-1}B
\]
由于 $A^{-1}A = I$（单位矩阵），我们得到：
\[
X = A^{-1}B
\]
3. **计算 $A^{-1}B$：**
\[
A^{-1}B = \begin{pmatrix}
-5 & 2 \\
3 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & 4 \\
5 & 6
\end{pmatrix}
\]
进行矩阵乘法：
\[
A^{-1}B = \begin{pmatrix}
(-5) \cdot 3 + 2 \cdot 5 & (-5) \cdot 4 + 2 \cdot 6 \\
3 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 & 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-15 + 10 & -20 + 12 \\
9 - 5 & 12 - 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5 & -8 \\
4 & 6
\end{pmatrix}
\]
因此，矩阵 $X$ 为：
\[
\boxed{\begin{pmatrix}
-5 & -8 \\
4 & 6
\end{pmatrix}}
\]
解析
步骤 1：求矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$
首先，计算 $A$ 的行列式：\[ \det(A) = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1 \]
接下来，求 $A$ 的伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。伴随矩阵是 $A$ 的余子式矩阵的转置。$A$ 的余子式矩阵为：\[ \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \]
因此，伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 为：\[ \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \]
于是，逆矩阵 $A^{-1}$ 为：\[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：用 $A^{-1}$ 左乘方程 $AX = B$ 的两边
\[ A^{-1}AX = A^{-1}B \]
由于 $A^{-1}A = I$（单位矩阵），我们得到：\[ X = A^{-1}B \]
步骤 3：计算 $A^{-1}B$
\[ A^{-1}B = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \]
进行矩阵乘法：\[ A^{-1}B = \begin{pmatrix} (-5) \cdot 3 + 2 \cdot 5 & (-5) \cdot 4 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 & 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 + 10 & -20 + 12 \\ 9 - 5 & 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \]
首先，计算 $A$ 的行列式：\[ \det(A) = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1 \]
接下来，求 $A$ 的伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。伴随矩阵是 $A$ 的余子式矩阵的转置。$A$ 的余子式矩阵为：\[ \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \]
因此，伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 为：\[ \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \]
于是，逆矩阵 $A^{-1}$ 为：\[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：用 $A^{-1}$ 左乘方程 $AX = B$ 的两边
\[ A^{-1}AX = A^{-1}B \]
由于 $A^{-1}A = I$（单位矩阵），我们得到：\[ X = A^{-1}B \]
步骤 3：计算 $A^{-1}B$
\[ A^{-1}B = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \]
进行矩阵乘法：\[ A^{-1}B = \begin{pmatrix} (-5) \cdot 3 + 2 \cdot 5 & (-5) \cdot 4 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 & 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 + 10 & -20 + 12 \\ 9 - 5 & 12 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \]