24.[填空题]int_(-1)^1x^2sin xdx=____

考查要点：本题主要考查定积分的性质，特别是奇函数在对称区间上的积分性质。

解题核心思路：

1. 判断被积函数的奇偶性：将被积函数分解为基本函数的乘积，分析其奇偶性。
2. 应用定积分性质：若被积函数为奇函数，且积分区间为对称区间$[-a, a]$，则积分结果为$0$。

破题关键点：

• 识别奇函数：通过代入$f(-x)$验证被积函数是否满足奇函数的定义。
• 直接应用结论：无需展开计算，直接利用奇函数的积分性质得出结果。

步骤1：判断被积函数的奇偶性
被积函数为$f(x) = x^2 \sin x$，计算$f(-x)$：
$f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = x^2 \cdot (-\sin x) = -x^2 \sin x = -f(x)$
因此，$f(x)$是奇函数。

步骤2：应用定积分性质
根据定积分性质，奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分为零，即：
$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 \quad (\text{当$f(x)$为奇函数时})$
本题中积分区间为$[-1, 1]$，且$f(x)$为奇函数，因此：
$\int_{-1}^{1} x^2 \sin x \, dx = 0$