1-8 函数的连续性与间断点设函数f(x)=}xsin(1)/(x)+b,x0.a,b为何值时，f(x)在x=0处连续A. a=b=1B. a=1,b=2C. a=2,b=1D. a=1,b=0

考查要点：本题主要考查函数在某一点连续的条件，即左极限、右极限与函数值三者相等。需要分别计算分段函数在$x=0$处的左极限和右极限，并与函数值$a$进行比较。

解题核心思路：

1. 右极限：当$x \to 0^+$时，函数为$\frac{\sin x}{x}$，利用常见极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，可得右极限为$1$，因此$a=1$。
2. 左极限：当$x \to 0^-$时，函数为$x \sin \frac{1}{x} + b$，通过夹逼定理可证明$x \sin \frac{1}{x}$的极限为$0$，因此左极限为$b$，需等于右极限$1$，故$b=1$。

破题关键点：

• 右极限的直接计算：利用已知极限公式。
• 左极限的处理：通过分析振荡项$x \sin \frac{1}{x}$的极限为$0$，确定$b$的值。

右极限计算

当$x \to 0^+$时，函数为$\frac{\sin x}{x}$，根据极限公式：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$
因此，右极限为$1$，而函数在$x=0$处的值为$a$，故需满足：
$a = 1$

左极限计算

当$x \to 0^-$时，函数为$x \sin \frac{1}{x} + b$。分析$x \sin \frac{1}{x}$的极限：

• 由于$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，因此：
  $|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$
• 当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理：
  $\lim_{x \to 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$
  因此，左极限为：
  $\lim_{x \to 0^-} \left( x \sin \frac{1}{x} + b \right) = 0 + b = b$
  为了使左极限等于右极限$1$，需满足：
  $b = 1$

综上，$a=1$且$b=1$，对应选项A。