题目
观察者观测到一质量均匀分布的等边三角形薄板沿其一边高的方向高速运动，使其成为等腰直角三角形薄板，并测出它的质量密度为。。设三角形薄板静止时的质量密度为。 ,则 。等于 。。。。。
观察者观测到一质量均匀分布的等边三角形薄板沿其一边高的方向高速运动，使其成为等腰直角三角形薄板，并测出它的质量密度为
。设三角形薄板静止时的质量密度为
,则 
等于
题目解答
答案
设静止时等边三角形薄板的质量为
，边长为
,厚度为
。
静止时：等边三角形的高为
，等边三角形的面积
，薄板体积
，则
。
高速运动时：与高对应的一边长度不变，则等腰直角三角形的斜边为，根据勾股定理可知等腰直角三角形的直角边为
，则等腰直角三角形的面积
,薄板体积
。斜边对应的高为斜边的一半即
，则根据
，高速运动时长度会收缩，即高会收缩，可得
，从而得出
，薄板质量
，则
。
根据以上分析
。
故本题选
。
解析
步骤 1：确定静止时等边三角形薄板的参数
设静止时等边三角形薄板的质量为$m_0$，边长为$a$，厚度为$h$。等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积$S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，体积$V_0=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h$。因此，静止时的质量密度为$\rho_0=\frac{m_0}{V_0}=\frac{m_0}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h}$。
步骤 2：确定高速运动时等腰直角三角形薄板的参数
高速运动时，等边三角形薄板沿其一边高的方向运动，使其成为等腰直角三角形薄板。等腰直角三角形的斜边为$a$，直角边为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，面积$S=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}a\times\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{1}{4}a^2$，体积$V=\frac{1}{4}a^2h$。根据狭义相对论，沿运动方向的长度会收缩，即高会收缩。设收缩后的高为$\frac{1}{2}a$，则有$\frac{1}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$，从而得出$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。因此，薄板质量$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\sqrt{3}m_0$，质量密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{\sqrt{3}m_0}{\frac{1}{4}a^2h}$。
步骤 3：计算质量密度比
根据以上分析，$\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{\frac{\sqrt{3}m_0}{\frac{1}{4}a^2h}}{\frac{m_0}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h}}=\frac{\sqrt{3}m_0}{\frac{1}{4}a^2h}\times\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h}{m_0}=3$。
设静止时等边三角形薄板的质量为$m_0$，边长为$a$，厚度为$h$。等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积$S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，体积$V_0=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h$。因此，静止时的质量密度为$\rho_0=\frac{m_0}{V_0}=\frac{m_0}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h}$。
步骤 2：确定高速运动时等腰直角三角形薄板的参数
高速运动时，等边三角形薄板沿其一边高的方向运动，使其成为等腰直角三角形薄板。等腰直角三角形的斜边为$a$，直角边为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，面积$S=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}a\times\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{1}{4}a^2$，体积$V=\frac{1}{4}a^2h$。根据狭义相对论，沿运动方向的长度会收缩，即高会收缩。设收缩后的高为$\frac{1}{2}a$，则有$\frac{1}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$，从而得出$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。因此，薄板质量$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\sqrt{3}m_0$，质量密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{\sqrt{3}m_0}{\frac{1}{4}a^2h}$。
步骤 3：计算质量密度比
根据以上分析，$\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{\frac{\sqrt{3}m_0}{\frac{1}{4}a^2h}}{\frac{m_0}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h}}=\frac{\sqrt{3}m_0}{\frac{1}{4}a^2h}\times\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2h}{m_0}=3$。