题目
6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和 y 件，总成本函数为C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),要求每天生产这两种产品的总量为 42 件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？
6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和 y 件，总成本函数为C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),要求每天生产这两种产品的总量为 42 件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？
题目解答
答案
解：问题是在约束条件 x+y=42(x>0，y>0)下，函数C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元)的条件极值问题.令L(x , y, λ) 1000 8x2－xy 12y2 (x y 42)- 11 -由 Lx 16x y 0,Ly x 24y 0, x y 42 得 x=25,y=17.根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.
解析
步骤 1：定义目标函数和约束条件
目标函数为总成本函数 C(x, y) = 1000 + 8x^2 - xy + 12y^2，其中 x 和 y 分别表示甲、乙两种产品的日产量。约束条件为 x + y = 42，即每天生产这两种产品的总量为 42 件。
步骤 2：引入拉格朗日乘数法
为了求解在约束条件下的极值问题，我们引入拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x, y, λ) = 1000 + 8x^2 - xy + 12y^2 + λ(x + y - 42)。
步骤 3：求解拉格朗日函数的偏导数
对拉格朗日函数 L(x, y, λ) 分别对 x、y 和 λ 求偏导数，并令其等于零，得到以下方程组：
Lx = 16x - y + λ = 0
Ly = -x + 24y + λ = 0
Lλ = x + y - 42 = 0
步骤 4：解方程组
联立上述方程组，解得 x = 25，y = 17，λ = -393。
步骤 5：验证极值点
根据问题本身的意义及驻点的唯一性，可以验证当 x = 25，y = 17 时，成本最低。
目标函数为总成本函数 C(x, y) = 1000 + 8x^2 - xy + 12y^2，其中 x 和 y 分别表示甲、乙两种产品的日产量。约束条件为 x + y = 42，即每天生产这两种产品的总量为 42 件。
步骤 2：引入拉格朗日乘数法
为了求解在约束条件下的极值问题，我们引入拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x, y, λ) = 1000 + 8x^2 - xy + 12y^2 + λ(x + y - 42)。
步骤 3：求解拉格朗日函数的偏导数
对拉格朗日函数 L(x, y, λ) 分别对 x、y 和 λ 求偏导数，并令其等于零，得到以下方程组：
Lx = 16x - y + λ = 0
Ly = -x + 24y + λ = 0
Lλ = x + y - 42 = 0
步骤 4：解方程组
联立上述方程组，解得 x = 25，y = 17，λ = -393。
步骤 5：验证极值点
根据问题本身的意义及驻点的唯一性，可以验证当 x = 25，y = 17 时，成本最低。