求lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2}+dfrac (2)({n)^2}+... +dfrac (n)({n)^2})-|||-__

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及等差数列求和公式的应用以及极限化简技巧。

解题核心思路：

1. 将求和式转化为等差数列求和公式，简化表达式；
2. 通过分子分母最高次项系数比值直接判断极限，或通过拆分项逐步化简。

破题关键点：

• 识别分子为等差数列求和，利用公式 $1+2+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$；
• 化简分式后，观察最高次项的系数比值，或通过分离变量法分析极限。

步骤1：求和转化
原式为 $\lim _{n\rightarrow \infty } \left( \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \cdots + \dfrac{n}{n^2} \right)$，可提取公因式 $\dfrac{1}{n^2}$，得：
$\lim _{n\rightarrow \infty } \dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}$

步骤2：应用等差数列求和公式
分子 $1+2+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$，代入后表达式变为：
$\lim _{n\rightarrow \infty } \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim _{n\rightarrow \infty } \dfrac{n(n+1)}{2n^2}$

步骤3：化简分式
分子展开为 $n^2 + n$，分母为 $2n^2$，分式可拆分为：
$\lim _{n\rightarrow \infty } \dfrac{n^2 + n}{2n^2} = \lim _{n\rightarrow \infty } \left( \dfrac{n^2}{2n^2} + \dfrac{n}{2n^2} \right) = \lim _{n\rightarrow \infty } \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2n} \right)$

步骤4：取极限
当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\dfrac{1}{2n} \rightarrow 0$，因此极限值为：
$\dfrac{1}{2} + 0 = \dfrac{1}{2}$