题目
一名潜水员在水下固定一个点光源，之后到岸上观察水面发现一个直径为d的光斑，若已知水的折射率为n，则点光源距离水面的高度h可以表示为（ ） A. h=(d)/(4)n B. h=(d)/(2)n C. h=(d)/(4)sqrt((n)^2-1) D. h=(d)/(2)sqrt((n)^2-1)
一名潜水员在水下固定一个点光源，之后到岸上观察水面发现一个直径为d的光斑，若已知水的折射率为n，则点光源距离水面的高度h可以表示为（ ）
- A. h=$\frac{d}{4}$n
- B. h=$\frac{d}{2}$n
- C. h=$\frac{d}{4}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$
- D. h=$\frac{d}{2}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$
题目解答
答案
解：设光在水面发生全反射的临界角为θ，光在透光面边缘正好发生全反射光路图如图所示，则sinθ=$\frac{1}{n}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$，由几何关系可知$\frac{d}{2}$=h•tanθ，则h=$\frac{d}{2}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$，故ABC错误，D正确；
故选：D。
解析
步骤 1：确定全反射临界角
设光在水面发生全反射的临界角为θ，根据全反射的条件，当光从水（折射率n）射向空气（折射率1）时，临界角θ满足sinθ=$\frac{1}{n}$。
步骤 2：计算tanθ
由sinθ=$\frac{1}{n}$，可以得到cosθ=$\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}$，因此tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$。
步骤 3：利用几何关系求解h
由几何关系可知，光斑直径d的一半（$\frac{d}{2}$）与点光源到水面的高度h和tanθ的关系为$\frac{d}{2}$=h•tanθ，代入tanθ的值，得到h=$\frac{d}{2}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$。
设光在水面发生全反射的临界角为θ，根据全反射的条件，当光从水（折射率n）射向空气（折射率1）时，临界角θ满足sinθ=$\frac{1}{n}$。
步骤 2：计算tanθ
由sinθ=$\frac{1}{n}$，可以得到cosθ=$\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}$，因此tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{{n}^{2}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$。
步骤 3：利用几何关系求解h
由几何关系可知，光斑直径d的一半（$\frac{d}{2}$）与点光源到水面的高度h和tanθ的关系为$\frac{d}{2}$=h•tanθ，代入tanθ的值，得到h=$\frac{d}{2}$$\sqrt{{n}^{2}-1}$。