题目
设f（x）=(2)/(3){x)^3，x≤1x)^2，x＞1.，则f（x）在x=1处的（ ） A. 左、右导数都存在 B. 左导数存在，右导数不存在 C. 左导数不存在，右导数存在 D. 左、右导数都不存在
设f（x）=$\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{3}{x}^{3}，x≤1\\{x}^{2}，x＞1\end{array}\right.$，则f（x）在x=1处的（ ）
- A. 左、右导数都存在
- B. 左导数存在，右导数不存在
- C. 左导数不存在，右导数存在
- D. 左、右导数都不存在
题目解答
答案
解：$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$=$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$$\frac{\frac{2}{3}{x}^{3}-\frac{2}{3}}{x-1}$
=$\frac{2}{3}$$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$（x2+x+1）=2，
$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$=$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{{x}^{2}-\frac{2}{3}}{x-1}$不存在，
故左导数不存在，右导数存在；
故选：C．
解析
步骤 1：计算左导数
计算f(x)在x=1处的左导数，即计算$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。由于x≤1时，f(x)=$\frac{2}{3}{x}^{3}$，因此f(1)=$\frac{2}{3}$。所以，左导数为$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$$\frac{\frac{2}{3}{x}^{3}-\frac{2}{3}}{x-1}$=$\frac{2}{3}$$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$（x^{2}+x+1）=2。
步骤 2：计算右导数
计算f(x)在x=1处的右导数，即计算$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。由于x＞1时，f(x)=${x}^{2}$，因此f(1)=$\frac{2}{3}$。所以，右导数为$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{{x}^{2}-\frac{2}{3}}{x-1}$。由于分子${x}^{2}-\frac{2}{3}$在x=1时为正，而分母x-1在x=1时为0，因此右导数不存在。
计算f(x)在x=1处的左导数，即计算$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。由于x≤1时，f(x)=$\frac{2}{3}{x}^{3}$，因此f(1)=$\frac{2}{3}$。所以，左导数为$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$$\frac{\frac{2}{3}{x}^{3}-\frac{2}{3}}{x-1}$=$\frac{2}{3}$$\underset{lim}{x→{1}^{-}}$（x^{2}+x+1）=2。
步骤 2：计算右导数
计算f(x)在x=1处的右导数，即计算$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。由于x＞1时，f(x)=${x}^{2}$，因此f(1)=$\frac{2}{3}$。所以，右导数为$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{{x}^{2}-\frac{2}{3}}{x-1}$。由于分子${x}^{2}-\frac{2}{3}$在x=1时为正，而分母x-1在x=1时为0，因此右导数不存在。