题目

判断题（共10题，20.0分）27.（2.0分）【判断题】数列(1+(1)/(n))^n是有界的。A 对B 错

判断题（共10题，20.0分） 27.（2.0分）【判断题】数列$\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}$是有界的。 A 对 B 错

题目解答

答案

数列$\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}$的极限为$e$，即$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e$。根据数列收敛的定义，收敛数列必有界。因此，该数列是有界的。 具体分析： 1. 当$n \to \infty$时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$趋近于$e$，且对于所有$n \in \mathbb{N}^*$，该数列的值均小于$e$。 2. 初始项$\left(1+\frac{1}{1}\right)^{1} = 2$，随着$n$增大，数列单调递增并趋近于$e$。 3. 综上，数列的上界为$e$，下界为2（或任意小于2的值），故数列有界。 答案：A 对

解析

考查要点：本题主要考查数列有界性的判断，以及对重要极限$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e$的理解。

解题核心思路：

  1. 收敛数列的有界性：若数列收敛，则它必为有界数列。
  2. 数列的单调性与界：通过分析数列的单调性，确定其上下界的存在性。

破题关键点：

  • 明确数列$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$的极限为$e$，说明数列收敛。
  • 结合数列的单调递增性，指出其上界为$e$，下界为初始项$2$，从而证明有界。

  1. 数列的收敛性
    根据重要极限公式，当$n \to \infty$时，
    $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e.$
    因此，该数列收敛于$e$。

  2. 收敛数列的有界性
    收敛数列必有界。由于该数列收敛到$e$，存在某个自然数$N$，当$n > N$时，数列的项均落在区间$(e-\epsilon, e+\epsilon)$内（取$\epsilon=1$时，上界为$e+1$）。结合初始项的有限性，数列整体有界。

  3. 数列的单调性
    通过数学归纳法或导数分析可证，数列$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$单调递增。其最小项为$n=1$时的值$2$，最大项无限趋近于$e$。因此，数列的下界可取$2$，上界可取$e$，进一步确认有界性。