题目

5.(单选题)f(z)=(1)/(z(z-1)^2)在0A. (A)sum_(n=0)^infty(-1)^nz^nB. (B)(1)/((z-1)^2)sum_(n=0)^inftyz^nC. (C)sum_(n=0)^infty(-1)^n(z-1)^nD. (D)sum_(n=0)^infty(-1)^n(z-1)^n-2

5.(单选题)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)^{2}}$在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（）

A. $(A)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n}$

B. $(B)\frac{1}{(z-1)^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$

C. $(C)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(z-1)^{n}$

D. $(D)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(z-1)^{n-2}$

题目解答

答案

D. $(D)\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(z-1)^{n-2}$

解析

本题考查复变函数中罗朗展开式的知识，解题思路是将函数$f(z)=\frac{1}{z(z - 1)^{2}}$进行变形，然后利用已知的幂级数展开式来得到罗朗展开式。

  1. 首先将函数$f(z)$变形为$f(z)=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{(z - 1)^{2}}$。
  2. 对于$\frac{1}{z}$，在$0<|z - 1|<1$的条件下，$z$可以表示为$z=(z - 1)+1$。
  3. 然后利用幂级数展开式$\frac{1}{1 + w}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}w^{n}$，这里$w = z - 1$，则$\frac{1}{z}=\frac{1}{1+(z - 1)}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(z - 1)^{n}$。
  4. 对于$\frac{1}{(z - 1)^{2}}$，我们知道$\frac{1}{(z - 1)^{2}}=\frac{1}{(z - 1)}\cdot\frac{1}{(z - 1)}$，而$\frac{1}{(z - 1)}=\frac{1}{1+(z - 1)-1}=\frac{1}{1+(z - 1)-1}$，利用幂级数展开式$\frac{1}{1 + w}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}w^{n}$，这里$w = z - 1 - 1$，则$\frac{1}{(z - 1)}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(z - 1)^{n - 1}$。
  5. 所以$f(z)=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{(z - 1)^{2}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(z - 1)^{n}\cdot\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(z - 1)^{n - 1}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(z - 1)^{n + n - 1}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(z - 1)^{2n - 1}$，进一步变形为$f(z)=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(z - 1)^{n - 2}$。