题目

设随机变量X的分布律为{X 1 3 5 P 0.35 0.25 0.4，则它的分布函数为F(x)=(). A. F(x)={0, x< 1 0.3, 1 leq x < 3 0.5, 3 leq x < 5 0.2, x geq 5.B. F(x)={0.3, x< 1 0.5, 1 leq x leq 3 0.2, 3 < x < 5.C. F(x)={0.3, x< 1 0.5, 1 leq x < 3 0.2, 3 leq x < 5.D. F(x)={0, x< 1 0.35, 1 leq x < 3 0.6, 3 leq x < 5 1, x geq 5.

设随机变量$X$的分布律为$\left\{\begin{array}{l}X \\ 1 \\ 3 \\ 5 \\ P \\ 0.35 \\ 0.25 \\ 0.4\end{array}\right\}$，则它的分布函数为$F(x)=$().

  • A. $F(x)=\left\{\begin{array}{l}0, \\ x< 1 \\ 0.3, \\ 1 \leq x < 3 \\ 0.5, \\ 3 \leq x < 5 \\ 0.2, \\ x \geq 5\end{array}\right.$
  • B. $F(x)=\left\{\begin{array}{l}0.3, \\ x< 1 \\ 0.5, \\ 1 \leq x \leq 3 \\ 0.2, \\ 3 < x < 5\end{array}\right.$
  • C. $F(x)=\left\{\begin{array}{l}0.3, \\ x< 1 \\ 0.5, \\ 1 \leq x < 3 \\ 0.2, \\ 3 \leq x < 5\end{array}\right.$
  • D. $F(x)=\left\{\begin{array}{l}0, \\ x< 1 \\ 0.35, \\ 1 \leq x < 3 \\ 0.6, \\ 3 \leq x < 5 \\ 1, \\ x \geq 5\end{array}\right.$

题目解答

答案

为了找到随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$，我们需要计算 $X$ 小于或等于 $x$ 的概率。分布函数 $F(x)$ 定义为： \[ F(x) = P(X \leq x) \] 给定 $X$ 的分布律： \[ \begin{array}{c|c|c|c} X & 1 & 3 & 5 \\ \hline P & 0.35 & 0.25 & 0.4 \\ \end{array} \] 我们可以根据 $x$ 的值确定 $F(x)$： 1. 对于 $x < 1$： \[ P(X \leq x) = 0 \] 因为 $X$ 不能取小于1的值。 2. 对于 $1 \leq x < 3$： \[ P(X \leq x) = P(X = 1) = 0.35 \] 3. 对于 $3 \leq x < 5$： \[ P(X \leq x) = P(X = 1) + P(X = 3) = 0.35 + 0.25 = 0.6 \] 4. 对于 $x \geq 5$： \[ P(X \leq x) = P(X = 1) + P(X = 3) + P(X = 5) = 0.35 + 0.25 + 0.4 = 1 \] 将这些结果组合起来，我们得到分布函数 $F(x)$： \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{如果 } x < 1 \\ 0.35 & \text{如果 } 1 \leq x < 3 \\ 0.6 & \text{如果 } 3 \leq x < 5 \\ 1 & \text{如果 } x \geq 5 \end{cases} \] 因此，正确答案是： \[ \boxed{D} \]

解析

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布函数的定义及分段表达式的构建能力。
解题核心思路：根据分布律，逐段计算$X \leq x$的概率，注意不同区间对应的累积概率。
破题关键点：

  1. 明确分布函数定义：$F(x) = P(X \leq x)$，即所有小于等于$x$的取值对应的概率之和。
  2. 分区间讨论：根据$X$的可能取值点（1、3、5），将实数轴划分为$x < 1$、$1 \leq x < 3$、$3 \leq x < 5$、$x \geq 5$四个区间，分别计算对应概率。
  3. 验证选项匹配性：重点关注选项中概率值的累加是否正确，以及区间划分是否合理。

根据分布律，$X$的取值为1、3、5，对应概率分别为0.35、0.25、0.4。分布函数$F(x)$的构建步骤如下：

区间划分与概率计算

  1. 当$x < 1$时：
    $X$无法取到比1更小的值，因此$F(x) = 0$。

  2. 当$1 \leq x < 3$时：
    $X$只能取到1，概率为$P(X=1) = 0.35$，因此$F(x) = 0.35$。

  3. 当$3 \leq x < 5$时：
    $X$可以取到1和3，概率为$P(X=1) + P(X=3) = 0.35 + 0.25 = 0.6$，因此$F(x) = 0.6$。

  4. 当$x \geq 5$时：
    $X$的所有取值均被包含，总概率为$1$，因此$F(x) = 1$。

选项匹配分析

  • 选项D的分段表达式完全符合上述计算结果，其他选项均存在概率值错误或区间划分错误。