求函数(x)=3(x)^4-4(x)^3-6(x)^2+10-|||-__ __的凹凸区间和拐点。

考查要点：本题主要考查函数的凹凸区间和拐点的求解方法，需要掌握二阶导数的计算及符号变化分析。

解题思路：

1. 求二阶导数：先对函数求一阶导数，再对一阶导数求导得到二阶导数。
2. 求二阶导数的零点：解方程$f''(x)=0$，确定可能的拐点位置。
3. 划分区间并判断凹凸性：根据二阶导数的零点将定义域分段，在各区间内判断二阶导数的符号，确定凹凸区间。
4. 验证拐点：检查二阶导数在零点处是否变号，若变号则对应点为拐点。

关键点：

• 二阶导数的符号决定凹凸性：$f''(x) > 0$时函数凹，$f''(x) < 0$时函数凸。
• 拐点的判定：二阶导数变号的点才是拐点。

1. 求二阶导数

原函数为$f(x)=3x^4-4x^3-6x^2+10$：

• 一阶导数：
  $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 12x$
• 二阶导数：
  $f''(x) = 36x^2 - 24x - 12$

2. 解方程$f''(x)=0$

解方程$36x^2 - 24x - 12 = 0$：

• 化简方程：
  $3x^2 - 2x - 1 = 0$
• 求根公式：
  $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$
• 解得：
  $x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = 1$

3. 判断凹凸区间

将实数轴分为三个区间：

1. 当$x < -\frac{1}{3}$时，取测试点$x = -1$：
   $f''(-1) = 36(-1)^2 - 24(-1) - 12 = 48 > 0$
   函数为凹区间。
2. 当$-\frac{1}{3} < x < 1$时，取测试点$x = 0$：
   $f''(0) = 36(0)^2 - 24(0) - 12 = -12 < 0$
   函数为凸区间。
3. 当$x > 1$时，取测试点$x = 2$：
   $f''(2) = 36(2)^2 - 24(2) - 12 = 84 > 0$
   函数为凹区间。

4. 确定拐点

• $x = -\frac{1}{3}$处：
  计算$f\left(-\frac{1}{3}\right)$：
  $f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^4 - 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 6\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 10 = \frac{257}{27}$
  拐点为$\left(-\frac{1}{3}, \frac{257}{27}\right)$。
• $x = 1$处：
  计算$f(1)$：
  $f(1) = 3(1)^4 - 4(1)^3 - 6(1)^2 + 10 = 3$
  拐点为$(1, 3)$。