求极限lim _(xarrow 0)((x+{e)^x)}^dfrac (1{2x)}

步骤 1：定义变量
令 $\alpha(x) = x + e^x - 1$ 和 $\beta(x) = \frac{1}{2x}$，则原极限可以写为 $\lim_{x \to 0} [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}$。

步骤 2：计算 $\lim_{x \to 0} \alpha(x)\beta(x)$
$\lim_{x \to 0} \alpha(x)\beta(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x + e^x - 1}{2x}$。

步骤 3：利用泰勒展开
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2)$，代入上式得
$\lim_{x \to 0} \frac{x + 1 + x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2) - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2)}{2x} = 1$。

步骤 4：应用极限公式
根据极限公式 $\lim_{x \to 0} [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^{\lim_{x \to 0} \alpha(x)\beta(x)}$，代入步骤3的结果得
$\lim_{x \to 0} [1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^1 = e$。