题目
下列积分值为的是（ ） A B C D
下列积分值为
的是（ ）
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
A选项
被积函数
∴
∴被积函数为偶函数
∴
B选项
被积函数
∴
∴被积函数不是奇函数
∴
C选项
被积函数
∴
∴被积函数为偶函数
∴
D选项
被积函数
∴
被积函数为奇函数
∴
故答案选D
解析
步骤 1：分析选项A
被积函数$f(x)={x}^{2}\cos x$
$f(-x)={(-x)}^{2}\cos (-x)={x}^{2}\cos x$
∴f(-x)=f(x)
∴被积函数为偶函数
∴${\int }_{-1}^{1}{x}^{2}\cos xdx=2{\int }_{0}^{1}{x}^{2}\cos xdx$
步骤 2：分析选项B
被积函数$f(x)={e}^{x}\sin x$
$f(-x)={e}^{-x}\sin (-x)=-{e}^{-x}\sin x$
∴$f(-x)=-f(x)$
∴被积函数不是奇函数
∴${\int }_{-1}^{1}{e}^{x}\sin xdx\neq 0$
步骤 3：分析选项C
被积函数$f(x)=\ln ({x}^{2}+1){\tan }^{2}x$
$f(-x)=\ln [ {(-x)}^{2}+1] {\tan }^{2}(-x)$
$=\ln [ {x}^{2}+1] {\tan }^{2}x$
∴f(-x)=f(x)
∴被积函数为偶函数
∴${\int }_{-1}^{1}\ln ({x}^{2}+1){\tan }^{2}xdx$
$=2{\int }_{0}^{1}\ln ({x}^{2}+1){\tan }^{2}xdx$
步骤 4：分析选项D
被积函数$f(x)=\arcsin x{e}^{{x}^{2}}$
$f(-x)=\arcsin (-x){e}^{{(-x)}^{2}}=-\arcsin x{e}^{{x}^{2}}$
∴f(-x)=-f(x)
被积函数为奇函数
∴${\int }_{-1}^{1}\arcsin x{e}^{{x}^{2}}dx=0$
被积函数$f(x)={x}^{2}\cos x$
$f(-x)={(-x)}^{2}\cos (-x)={x}^{2}\cos x$
∴f(-x)=f(x)
∴被积函数为偶函数
∴${\int }_{-1}^{1}{x}^{2}\cos xdx=2{\int }_{0}^{1}{x}^{2}\cos xdx$
步骤 2：分析选项B
被积函数$f(x)={e}^{x}\sin x$
$f(-x)={e}^{-x}\sin (-x)=-{e}^{-x}\sin x$
∴$f(-x)=-f(x)$
∴被积函数不是奇函数
∴${\int }_{-1}^{1}{e}^{x}\sin xdx\neq 0$
步骤 3：分析选项C
被积函数$f(x)=\ln ({x}^{2}+1){\tan }^{2}x$
$f(-x)=\ln [ {(-x)}^{2}+1] {\tan }^{2}(-x)$
$=\ln [ {x}^{2}+1] {\tan }^{2}x$
∴f(-x)=f(x)
∴被积函数为偶函数
∴${\int }_{-1}^{1}\ln ({x}^{2}+1){\tan }^{2}xdx$
$=2{\int }_{0}^{1}\ln ({x}^{2}+1){\tan }^{2}xdx$
步骤 4：分析选项D
被积函数$f(x)=\arcsin x{e}^{{x}^{2}}$
$f(-x)=\arcsin (-x){e}^{{(-x)}^{2}}=-\arcsin x{e}^{{x}^{2}}$
∴f(-x)=-f(x)
被积函数为奇函数
∴${\int }_{-1}^{1}\arcsin x{e}^{{x}^{2}}dx=0$